Un tema clave en el cálculo y el análisis matemático es el concepto de límite. Se utiliza para ilustrar cómo se comporta una función cuando su entrada se acerca a un determinado valor, tiende hacia el infinito o se acerca al infinito negativo.

El cálculo y el análisis matemático emplean con frecuencia el concepto de límite para aclarar la integración, derivación y continuidad de funciones. Podemos pronosticar las características de la función, como la continuidad y la diferenciabilidad, observando el comportamiento de la función en cualquier momento dado.

Además, el límite ofrece un enfoque matemático preciso para explicar cómo se comporta una función en el infinito o cerca de cierto punto. En este artículo, prescribiremos información sobre la definición de límites, reglas, ejemplos, tipos y también aplicaciones cotidianas.

Definición: límite

Formalmente, el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un cierto valor ‘c’ se denota de la siguiente manera:

Lim(x → c) f(x) = L

Esto significa que a medida que ‘x’ se acerca arbitrariamente a ‘c’ (pero no es igual a c), los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a ‘L’. En otras palabras, ‘L’ es el valor al que la función «se acerca» o «tiende» a medida que x se acerca cada vez más a ‘c’.

Los límites también se pueden utilizar para describir el comportamiento de una función cuando ‘x’ se acerca al infinito positivo (∞) o al infinito negativo (-∞). En estos casos, la notación límite se escribe como:

Lim (x →∞) f(x) = L

O,

Lim (x →-∞) f(x) = L

Reglas de límite:

Para calcular el límite de una función específica, debemos seguir reglas para poder obtener una solución de la función fácilmente. Aquí se discuten algunas reglas de límites.

Hay algunas reglas de límites generales con

(Lim x → c) f(x) = M y (Lim x → c) g(x) = N

Regla de la suma :

Para dos funciones cualesquiera se dan como una suma, entonces el límite estará dado de la siguiente manera:

( Lim _{x → c} ) ( f( x) + g(x)) = Lim _{x → c} (f(x)) + Lim _{x → c} (g(x)) = M + L

Regla de diferencia:

Si dos funciones cualesquiera se dan como diferentes, entonces el límite será el siguiente:

( Lim _{x → c} ) ( f( x) – g(x)) = Lim _{x → c} (f(x)) – Lim _{x → c} (g(x)) = M – L

Regla del producto:

Para dos funciones cualesquiera se dan como producto, entonces el límite estará dado de la siguiente manera:

( Lim _{x → c} ) ( f( x) * g(x)) = Lim _{x → c} (f(x)) * Lim _{x → c} (g(x)) = M * L

Regla múltiple constante:

Si la función dada es constante multiplicada por múltiplo, entonces el límite vendrá dado de la siguiente manera:

Lim ( _{x → c} ) k (f(x)) = k Lim _{(x → c} ) (f(x)) = k * M

Regla del cociente:

Siempre que el límite del denominador no sea cero (0), dos funciones cualesquiera pueden expresarse como un cociente. Entonces su límite será:

( Lim _{x → c} ) ( f( x) / g(x)) = Lim _{x → c} (f(x)) / Lim _{x → c} (g(x)) = M / L

Tipos de límites:

En general, los límites ordinarios a veces se consideran límites bilaterales.

• Los límites de la derecha se acercan al punto arbitrario desde el infinito positivo.

Lim (x → c ⁺ ) = R

• Los límites de la izquierda se acercan al punto arbitrario desde el infinito negativo.

Lim (x → c ⁻ ) = R

Ejemplos de límites

A continuación se muestran algunos ejemplos básicos que le ayudarán a comprender los límites:

Ejemplo 1:

Lim (x → – 3) f(x) = 7x ⁴ – 2x ³ +5x – 2

Solución:

Lim (x → –3) f(x) = Lim (x → –3) 7x ⁴ – Lim (x → –3) 2x ³ + Lim (x → –3) 5x – Lim (x → –3) 2

= 7(81) – 2(– 27) + 5(–3) –2

= 567 +54 – 15 –2

= 604

Ejemplo 2:

Lim (x → 1) f(x) = (2x ⁴ – 2x ³ + 15x) / x ² + 5

Solución:

Lim(x → 1) f(x )= [Lim(x → 1)2x ⁴ –Lim(x → 1) 2x ³ + Lim(x → 1) 15x]/Lim (x → 1) x ² + Lim ( x → 1) 5

= [2(1) – 2(1) +15(1)]/ (1) ² + 5

= [2 – 2 +15] + 5

= 15+5

= 20

Ejemplo 3:

Lim (n → 5) f(x) = 4(2n+1 )( 3n ² –1)

Solución:

Lim (n → 5) f(x) = 4 [Lim (n → 5) 2t + Lim (n → 5) (1) ][ Lim (n → 5)3t ² – Lim (n → 5) (1) ]

Lim (n → 5) f(x) = 4[2(5) +1 ][ 3(5) ² –1]

= 4[10+ 1] [75–1]

= 4[11] [74]

= 44[74]

= 3256

Aplicaciones de límites:

Las aplicaciones de Límites son las siguientes:

• En Física : Los límites facilitan medir la fuerza de un campo eléctrico o magnético, por ejemplo. En última instancia, la temperatura se acercará a la temperatura ambiente donde se almacena el vaso si se coloca un cubito de hielo en un vaso de agua tibia y se controla la temperatura a lo largo del tiempo. Se vuelve más difícil calcular la temperatura en esta situación a medida que el tiempo se acerca al infinito.
• En Cálculo : Cada aplicación de ecuaciones diferenciales nos permitió determinar hasta dónde llegaron los resultados de una ecuación en particular, ya que se requieren límites para definir el cálculo diferencial.
• En Química : Con el uso de límites, podemos determinar cómo dos sustancias químicas que actúan como reactivos contribuyen a que una determinada reacción química tenga lugar durante un período específico. De manera similar, un catalizador utilizado en una determinada reacción hace posible que esta reacción avance rápidamente dentro del marco de tiempo asignado. Con más información, podemos definir mejor un ejemplo de límite, como cuando comenzó una reacción química en un vaso de precipitados y dos moléculas distintas reaccionaron para crear una nueva sustancia.
• En ingeniería : para sacar conclusiones más rápido, los ingenieros utilizan leyes de límites para encontrar resultados más precisos y efectivos utilizando elementos materiales adecuados.
• En biología : se utiliza un límite de estrategia adecuada o método biotecnológico para calcular la velocidad a la que crece el virus, lo que puede permitir a los biólogos predecir si el virus está creciendo rápidamente o no. También permite al biólogo tomar contramedidas que se deben tomar para evitar la expansión.
• En análisis complejo : los límites se utilizan para obtener la información más relevante de funciones enormes y complicadas. Los límites nos ayudan a identificar el mejor enfoque para resolver funciones complicadas de esta manera.

Conclusión

Ahora hemos cubierto la definición, los tipos, las reglas, los ejemplos y las aplicaciones prácticas del concepto de límite en el cálculo. Podemos responder a todo tipo de problemas de límites con funciones complicadas al comprender sus leyes.

Ejemplos de muchos tipos nos permitirán abordar los problemas desde varios ángulos. Los detalles de cómo se utiliza en la vida diaria sirven como recordatorio de su importancia. Podemos resolver una amplia gama de cuestiones sobre la noción una vez que la comprendamos por completo.