Los límites son un concepto esencial en matemáticas que se utiliza para explicar cómo se comporta una función a medida que se acerca a un valor específico. El valor al que se aproxima la función cuando la entrada se acerca arbitrariamente a cierto punto está representado por el límite de una función en ese punto.

Los límites tienen varias propiedades y aplicaciones en diferentes ramas de las matemáticas y más allá. Los límites son una herramienta crucial en el análisis matemático porque nos ayudan a comprender y caracterizar cómo se comportan las funciones y las ideas matemáticas en diversas situaciones.

En este blog profundizaremos en la definición de límites y sus propiedades características. Abordaremos algunos ejemplos de problemas relacionados con límites para aprehender sus cálculos.

Definición:

Tengamos una función f(x), el límite de f(x) en un cierto punto x cuando x tiende a ‘a’ se define como:

Lím _{x 🡪a} f(x) = L

La declaración anterior indica que cuando x se acerca a ‘a’, los valores correspondientes de f(x) se acercan al valor límite ‘L’. Es sumamente importante tener en cuenta que el límite de una función solo considera el comportamiento de la función cercano al valor de ‘a’ y no es obviamente igual al valor de ‘a’ en sí.

Propiedades de los límites:

Límite único:

Solo puede haber un límite para una función en cualquier punto dado. El límite de la función no existe si la función se aproxima a diferentes valores desde diferentes puntos.

Operaciones algebraicas:

Las operaciones algebraicas se pueden utilizar para combinar los límites de las funciones. Al evaluar los límites de las funciones individuales y usar las operaciones relacionadas, se puede determinar el límite de la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones.

Teorema del emparedado:

Si los límites de f(x) y h(x) existen y son iguales a L cuando x tiende a ‘a’ y si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de a (excepto posiblemente en a), entonces el límite de g(x) también existe y es igual a L. Cuando una función está «intercalada» entre otras dos funciones, esta propiedad se puede usar para demostrar el límite de la función.

Regla de suma/diferencia:

Tengamos dos funciones u(x) y v(x). El límite de su suma o diferencia, es la suma o diferencia de sus límites individuales, respectivamente, siempre que sus límites existan a medida que x se acerca a ‘a’. Matemáticamente,

Lím _{x 🡪a} [u(x) ± v(x)] = Lím _{x 🡪a} u(x) ± Lím _{x 🡪a} v(x)

Regla del producto:

Sean u(x) y v(x) dos funciones. El límite de su producto es el producto de sus límites siempre que sus límites existan a medida que x se acerca a ‘a’. Matemáticamente,

Lím _{x 🡪a} [u(x) * v(x)] = Lím _{x 🡪a} u(x) * Lím _{x 🡪a} v(x)

Regla del cociente:

Si u(x) y v(x) tienen límites cuando x tiende a ‘a’ y Lim _{x 🡪a} v(x) ≠ 0, entonces el límite de su cociente es igual al cociente de sus límites. Alternativamente:

Lim _{x 🡪a} [u(x) / v(x)] = Lim _{x 🡪a} u(x) / Lim _{x 🡪a} v(x) (cuando Lim _{x 🡪a} v(x) ≠ 0)

Regla de poder:

El límite de [u(x)] ⁿ es el límite de f(x) elevado a la potencia de n para cualquier número real n donde el límite de una función f(x) existe cuando x tiende a a. Con esas palabras:

Lim _{x 🡪a} [u(x) ] ^{^ n} = [ Lim _{x 🡪a} u(x)] ^{^n}

Regla constante:

Si c es una constante, entonces el límite de c cuando x tiende a a es simplemente c. Matemáticamente,

Lim _{x 🡪a} c = c

Límite de una constante por una función:

Tengamos una función u(x) y c es una constante. Entonces el límite de c * f(x) a medida que x se acerca a a es equivalente a c múltiplo de f (x) a medida que x se acerca a ‘a’ siempre que el límite de la función u(x) exista a medida que x se acerca a ‘a’. Matemáticamente,

Lim _{x 🡪a} [c * u(x)] = c * [ Lim _{x 🡪a} u(x)]

Límite de un recíproco:

Sea u(x) una función. El límite de 1/u(x) cuando x se acerca a ‘a’ existe es equivalente al recíproco de ‘L’ siempre que el límite de la función u(x) existe cuando x se acerca a ‘a’ y eso es igual a L. Matemáticamente,

Límite _{x 🡪a} [1/u(x)] = 1 /[ Límite _{x 🡪a} u(x)]

Límite de la raíz cuadrada:

Sea u(x) una función y su límite existe cuando x se acerca a ‘a’. Entonces,

Lim _{x 🡪a} √u(x) = √[ Lim _{x 🡪a} u(x)]

Estas propiedades nos brindan capacidades significativas para analizar funciones y abordar problemas matemáticos al permitirnos modificar y calcular límites de muchas maneras. Comprender estas propiedades es esencial para trabajar con límites de manera efectiva en cálculo y otras áreas de las matemáticas.

¿Cómo encontrar el límite de una función?

Obtener asistencia de herramientas en línea como una calculadora de limites la mejor manera de encontrar rápidamente el límite de cualquier función en un punto específico. Alternativamente, a continuación hay algunos ejemplos resueltos para encontrar límites manualmente.

Ejemplo 1:

Encuentra el límite de la función (5x ³ ) (3x + 7) en el punto 2.

Solución:

Paso 1: datos dados

Función f(x) = (5x ³ ) (3x + 7) y x = 2

Paso 2: Aplique los límites a la función dada y simplifique.

Lim _{x 🡪2} [(5x ³ ) (3x + 7)] = [ Lim _{x 🡪2} [(5x ³ )] [ Lim _{x 🡪2} (3x + 7)] (Regla del producto)

Lim _{x 🡪2} [(5x ³ ) (3x + 7)] = [ Lim _{x 🡪2} (5x ³ )] [ Lim _{x 🡪2} (3x) + Lim _{x 🡪2} 7) ] ( Regla de la suma)

Lim _{x 🡪2} [(5x ³ ) (3x + 7)] = [5 Lim _{x 🡪2} (x ³ )] [3 Lim _{x 🡪2} (x) + Lim _{x 🡪2} 7) ] ( regla del múltiplo constante)

Límite _{x 🡪2} [(5x ³ ) (3x + 7)] = [5(2) ³ ][ 3(2) + 7]

Lim _{x 🡪2} [(5x ³ ) (3x + 7)] = (5(8) )( 6 + 7) = (40)(13) = 520 Resp.

Entonces, 520 es el límite de la función dada.

Ejemplo 2:

Encuentra el límite de la función (3x + 8) / (x – 2) en el punto 3.

Solución:

Paso 1: Información dada

Función = f(x) = (3x + 8) / (x – 2) y x = 3

Paso 2: Aplicar los límites y simplificar.

Lim _{x 🡪3} [(3x + 8) / (x – 2)] = [ Lim _{x 🡪3} (3x + 8)] / [ Lim _{x 🡪3} (x – 2) ] ( Regla del cociente)

Lim _{x 🡪3} [(3x + 8) / (x – 2)] = [ Lim _{x 🡪3} (3x) + Lim _{x 🡪3} (8)] / [ Lim _{x 🡪3} (x) – Lim _{x 🡪3} (2) ] ( Suma & regla de diferencia)

Límite _{x 🡪3} [(3x + 8) / (x – 2)] = (3(3) + 8) / (3 – 2) =

Lim _{x 🡪3} [(3x + 8) / (x – 2)] = (9 + 8)/ (1) = 17/1 = 17 Resp.

Entonces, 17 es el límite de la función dada.

Resumen:

En este blog, hemos hablado brevemente sobre el concepto de límites en matemáticas. Hemos intrincado su definición y explorado sus propiedades importantes que juegan un papel importante en el cálculo de los problemas de límites en matemáticas.

En la última sección, desentrañamos algunos ejemplos para aprehender problemas que involucran límites. Tenemos esperanzas después de leer este importante blog; abordará fácilmente problemas matemáticos que involucran límites.