Números primos

Números primos bien explicados y con ejemplos

¿Qué son los números primos?  Son aquellos que sólo se pueden dividir entre el mismo y entre 1. Además, están presentes en todas las operaciones matemáticas que realizas, por ello es muy importante su estudio. Al hablar de ellos, se deben resaltar los números compuestos, considerando que son los que son divisibles por ellos mismos, por la unidad, y por  supuesto, por otros dígitos. En este artículo también conocerás más acerca del número 1, no es ni compuesto, ni primo.

Historia de los números primos

Números primos

Durante la historia pasada se halló por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt sobre aislar cuatro números primos 11, 13,17 y 19 era la prueba del conocimiento e los números primos, aunque este hecho no está del todo claro, del conocimiento que tenían los hombres en esa época.

A los números primos se les conoce como racionales primos, esto en la serie algebraica, esto para marcar una diferencia de los números gaussianos primo. La palabra primo-viene dada del latín «primus» que su significado es primero.

El número 1 ¿Es primo?

Los grandes matemáticos han discutido este caso durante siglos, por sólo dividirse por el mismo han decidido excluirlo por conveniencia. El teorema de la descomposición de números en factores primos indica que los números de pueden descomponer de forma única. Por ejemplo: 15= 3×5

Números solitarios

¿Sabías que a los números primos le llaman números solitarios? Estos números son realmente misteriosos, hasta el momento nadie ha conseguido la fórmula para los números primos ni un patrón exacto. Quizás la famosa criba de Eratóstenes en el año 230 a.C

Observemos los diez primeros números primos 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. El 2, es el único número primo par, el resto son impares. El resto tienen un orden entre ellos dejando uno entre ellos, esto indica que cualquier número impar obedece a la fórmula 2n-1.

Debido a las irregularidades de estos números, los teóricos han recurrido a verlos estadísticamente.

También existe el caso de los primos gemelos, son aquellos que se encuentran cerca son casi vecinos, aunque en algunos casos es imposible que se toquen, es decir son pares primos consecutivos, como es el caso de 3 y 5; 11 y 17; 17 y 19. Otro dato importante  de resaltar es que a partir del par (5,7) habrá un número intermedio múltiplo de 6.

¿Conoces los números primos en la literatura? En este espacio te podemos decir que dichos números también han sido de gran influencia en la vida de los artistas como por ejemplo: La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano quien gana el premio Strega en el año 2008.

Análisis de los números primos

El análisis de los números primos es un puno importante de la serie de los números tomando en cuenta que esta es una especialidad de las matemáticas que habla sobre las cualidades  básicas de aritmética de los números enteros.

Época del renacimiento 

Durante esta época existió escaso progreso en el análisis de los números primos hasta el siglo XVII y en el año1640 Pierre Fermat  determina el pequeño su  teorema quien pronosticó que todos los números de la forma +1 argumentando que eran primos.

En el año 1970 estudiosos  encontraron algoritmos con el fin de resolver si algún número es primo tenían alguna diversidad acelerada, lo que permitía  hacer evaluación en números de miles de dígitos, aún cuando son muchos más pausados que los procedimientos previos a ellos.

168 números primos menores que 1000

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,

137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,

263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,

409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,

563,569,571,577,593,599,601,607,613,617,619,631,641,647,649,653,659,661,673,677,683,691, 701,

709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,

853,857,859,863,877,881,883,887,907,917,919,929,937,941,947,953,967,971,983,991 y 997.

Ahora bien para trabajar debemos observar lo siguiente:

  • El primer número primo desde el cual se debe trabajar el número 1 es el 2
  • El primer número primo desde el cual se debe trabajar el número mil es el 1009, el de diez mil es el 10007 a partir de cien mil es el 100003 y prontamente después de un millón es el 1000003

Propiedades de los números primos

El teorema fundamental de la aritmética determinó que todo número natural tiene una descripción singular como resultado de factores primos, excepto el orden propio el factor primo puede aparecer diferentes veces. El 1 se figura entonces como un producto superficial.

Para descomponer los números en sus factores primos podemos encontrar algunos conceptos que se utilizan en matemáticas, estos son los siguientes:

  • El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos, para realizar dicho cálculo se debe descomponer los números en factores primos y se toma los factores comunes y no comunes con su máximo exponente.
  • El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos.
  • Ya para finalizar dos o más números son primo entre si sí no tienen ningún factor primo común es decir si su máximo común es 1

Números primos y funciones aritméticas

La función aritmética, es decir las funciones reales o complejas determinadas sobre un conjunto de números naturales realizan un papel importante en la teoría de los números, las más importantes son las funciones multiplicativas que son las funciones f en las cuales para cada En las cuales para cada par de números primo a, b se tiene f(ab)=f(a)f(b)

Características  del conjunto de los números

Existen infinitos números primo, según Euclides realizó la primera exhibición más o menos en el año 300 antes de Cristo en el libro IX de su obra Elementos.

Realizando una exhibición así

Tomó un conjunto arbitral pero infinito de números primo p1, p2,p3,….pn y contemplando el producto de todo ellos más uno 9=p1xp2xp3….xpn+1 observando que este número es obviamente mayor que 1 y diferente  de todos los primo p¡ de la lista. Llegando  a la conclusión de que el conjunto de los números primos es infinito.

Frecuencia de los números primos 

Conociendo ya que los números primos son infinitos trabajaremos acerca de la reiteración  de los mismos es decir cómo se distribuyen los primos entre los números naturales, tomando en cuenta cuan frecuentes son y donde se espera encontrar el n- esimo primo. Dicho estudio surge por medio de Gauss y Legendre de forma independiente  a finales del siglo XVIII donde incluyeron la función enumerativa de los números primos (n) y calcularon que su valor fuese aproximado.

Π~(n)=n/1nΠ.[28]

El numero 1 no es valorado como primo .

Esto se debe al convenio hasta el siglo XIX los matemáticos lo valoraron como primo. Actualmente no se considera primo la comunidad matemática, así lo mantiene.

Ejemplo

3 sólo permite como divisores ±1 y ±3  3:1=3  3:3=1 3:(-1)=-3 3:(-3)=-1

D(a) ={+1,-1,+a,-a}

Descomponer un número entero en factores primos m

Se obtiene de la siguiente manera:

  • Se emplean las opiniones de divisibilidad indicando los divisores primos de ese número
  • Se divide el número entero entre el menor divisor primo
  • Luego se siguen dividiendo entre el divisor primo las veces que sea necesario hasta obtener un número (cociente) primo
  • Se divide este cociente primero entre si
  • El resultado se manifiesta en forma de producto de potencia
  • Si el numero entero es negativo el producto de potencia se multiplica por -1

Cómo saber si un número es primo

Sabemos si un número es primo por medio de la división y se va comprobando para ver si tiene algún divisor propio y para ello se va dividiendo el número primo en 2,3,4,5….n-1 si alguna de las divisiones realizadas es exacta el número n es exacta el número es primo. A continuación, observa el seguimiento  de estos números:

  • Dicho seguimiento es poco presumible no se sabe si acata algún tipo de regla u orden que no se ha tenido la competencia para hallar aun. Un hombre llamado D. Zaquer en el año de 1975 en un discurso dijo que habían dos hechos en torno a la repartición de los números primos y son los siguientes:
  1. La primera es que los números primos a diferencia de los naturales crecen exageradamente alrededor de los números naturales, sin saber donde se generara el siguiente.
  2. Este otro hecho es más inaudito porque dice lo opuesto que hacen alarde a una estupenda exactitud y que se rigen por leyes.

Intención de dominar los números

  • El propósito de dominar los números primos conllevó a muchos a la búsqueda de una fórmula o expresión algebraica que permitiera la secuencia de los números primos. Goldbac,  demuestra en el año 1752 que no existía ningún polinomio con coeficientes enteros que resultará números primos para cualquier valor entero.
  • Pero a pesar de los de Goldbach si se ha podido encontrar un polinomio en lo variable con coeficientes enteros no negativos.

Primos de Mersenne y números perfectos.

Hay números primos de la forma 2ⁿ–1 a esto se les llama primos de Mersenne es fácil demostrar que si 2ⁿ–1 es primo entonces n debe ser primo.

Primos titánicos.

Esto se refiere a los números primos más grandes conocidos actualmente son:

Del año 2008 a 2005 como se expresa en el cuadro son de Mersenne y el año 2004 fue descubierto por Josh Findley.

Primo Digito Fecha
243112609-1 12978189 2008
242643801-1 12837064 2009
237156667-1 11185272 2008
232582657-1 9808358 2006
230902457 -1 9152052 2005
225964951-1 7816230 2005
229036583 -1 7235733 2004
220996011-1 6320430 2003

Ejemplos

  • El 5 es primo sus únicos divisores son 1 y 5 se puede expresar como producto 5.1
  • 15 no es primo sus divisores son 1 3 5 y 1 5 y se expresa con 3•5 y como 15•1.

Los gemelos de los primos

  • Si dos primos se desglosan en dos unidades se les llama gemelos
  • Ejemplo 7 y 5 es imposible saber si hay una cantidad innumerable en esos números ,en el año 2007 se cree de mas que hay infinito.

En el año 1919 Viggo Brun comprobó que la suma de los opuestos de los primos gemelos concurre a un numero que se le denominara  la constante de Brun para primos

  • gemelos y se representa como B 2 y su valor se considera en torno a 1902160583104
  • Los primeros números de la sucesión de Fibonacci que son primos son 2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229 en este caso no se sabe si hay números infinitos primos.

Criba de Eratóstenes

Es un procedimiento que se usa para contar listas de números primos y consiste en tildar poco a poco todos los números compuestos para que al final queden sin tildar únicamente los números primos .

Pasos para realizar dicho procedimiento

  • Ordenar en una tabla todos los números desde el uno hasta n
  • Tildar el número 1 por no ser un número primo
  • Señala el número 2 como el primer número primo de la lista
  • Tildar todos los números que son divisibles por 2
  • Trasladar el siguiente número que no se ha tildado y señalarlo como un número primo
  • Tildar todos los números que son divisibles por ese número
  • Reiterar los dos pasos anteriores hasta obtener el final de la tabla

Los números primos son todos los números que queden sin tildar

Ejercicios:

Indica cual de estos números es un número primo

  • 1
  • 5
  • 0

Solución:

5 es un número primo sus únicos divisores son 1 y 5 y se expresa 5.1

Tal numero no es primo porque ?

  • 4
  • 7
  • 13

Solución:

El número 4 no es primo porque tiene tres divisores 1,2,4

Completa los primos que hay entre 300 y 350

Los primos que hay entre 300 y 350 son 307,311,313,317,331,337,347,349

¿Has visto estos números entre sí? Es importante destacar la relación entre los números primos y el resto de los números, a ésta se le llama números primos entre sí o primos relativos que son aquellos que tienen a 1 como máximo común divisor. Es decir, un número es obligatoriamente un número primo relativo de otro número primo, también dos números compuestos, pueden ser a su vez primos entre sí.

Por ejemplo, las cifras más bajas que pueden verse como ejemplo, se encuentran: 11  y 8; 13 y 7; 15 y 4; 10 y 3;

Curiosidades de los números primos

En diciembre del año 2017 un ingeniero estadounidense calculó a través de un algoritmo computacional el número primo con mayor cantidad de cifras el cual tiene 23 millones de dígitos, partiendo de la fórmula 2 a la 77. 232.917 potencia que se le restó.

Después del descubrimiento se realizó la división de su capacidad divisoria y así certificar que se trataba de un número primo.  Por ser una cifra tan grande se le dio el nombre bajo el código “M77232917”, este ya es parte de una gran cantidad de cifras. Todos estos números han sido calculados con un potente algoritmo, de nombre números Mersenne, en el que a pesar de todo, no todos sus números son primos.

Los números primos son á-tomicos, es decir, indivisibles. Así como todo está compuesto por átomos, así cada número está compuesto por números primos. Por ejemplo, el número 15, está compuesto por 3 y 5, esto quiere decir que 15 es número compuesto por 3 y 5.

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