Polígonos

Polígonos: explicación fácil y simple

¿Qué son los polígonos? Son conocidos como figuras planas  con forma geométrica, su secuencia es finita y posee segmentos rectos. Además, constituyen una representación de segmentos llamados  lados, con todos los trazos se forman los polígonos. Tienen extremos rectos llamados lados y puntos donde se unen dos lados, dichos puntos de unión se les conoce como vértice.

La palabra polígono viene dada del griego antiguo polígono y formado por poli que significa “muchos” y gonos que significa lados. Actualmente, los polígonos son comúnmente característicos por su número de lados. La palabra polígono puede variar ya que tendrá que  ver el uso que se les dé.

Línea poligonal

Se llama línea poligonal al grupo de fragmentos unidos seguidamente por sus términos donde el término de cada uno es comienzo del posterior tal que dos segmentos seguidos no estén comprendidos, así se consideran los lados como un único segmento.

Propiedad de los polígonos

Propiedad de los polígonos

Según número de lados de un polígono podemos cuantificar el número de diagonales  y la suma de los ángulos  de dichos polígonos. Los polígonos se pueden clasificar en grupos diferentes según sea el caso para cada uno, a continuación aquí tienes su clasificación:

  • Polígonos según sus lados: triángulos, cuadriláteros, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, endecágono, dodecágono.
  • Polígonos según sus ángulos: polígonos convexos, polígonos cóncavos.
  • Polígonos según sus lados y ángulos: polígonos regulares y polígonos irregulares.

Tipos de polígonos

  • Triángulos que tienen tres lados
  • Cuadriláteros que tienen cuatro lados
  • Pentágonos que tienen cinco lados
  • Hexágonos que tienen seis lados
  • Heptágonos que tienen siete lados
  • Octágonos que tienen ocho lados
  • Eneágonos que tienen nueve lados
  • Decágonos que tienen diez lados
  • Undecágonos que tienen once lados
  • Dodecágonos que tienen doce lados

Los polígonos de trece (13) o más lados se les conoce como polígonos de trece, catorce, quince lados y la circunferencia se determina como un polígono de infinitos números de lados.

Polígonos regulares

Los polígonos regulares también se llaman polígonos equiláteros, debido a que sus lados son iguales. Además, se llaman equiangulares por poseer ángulos interiores con la misma amplitud. Además se pueden inscribir en una circunferencia.

El triángulo, el cuadrado  y el rectángulo

El triángulo es un polígono de tres lados pueden ser iguales o distintos, resaltando que tienen 3 vértices, que usualmente se coloca con las leras A, B, C. El cuadrado es un polígono de 4 lados iguales asimismo tiene 4 vértices que siempre se coloca con las letras A, B, C, D

El rectángulo es un polígono de 2 lados largos similares y opuestos, y dos lados cortos, iguales y opuestos, también  tiene 4 vértices  que usualmente  se señalan con las letras A, B, C, D. Se dice que un polígono es regular al polígono que sus lados y ángulos interiores son equivalentes entre sí.

Elementos de un polígono regular

  • Lado l son todos los segmentos que forma un polígono.
  • Vértice v es solo un punto común de cualquiera de los dos lados sucesivos.
  • Centro c es el punto interior correspondiente  a todos los vértices  y los puntos medios de todos los lados.
  • Radio r son los tramos que une el centro del polígono  con uno de sus vértices
  • Apotema a es el tramo vertical de un lado desde el centro del polígono
  • Diagonal d es el tramo que une dos vértices poco constantes
  • Perímetros p es la adición del largo de todos sus lados

Propiedades de un polígono regular

  • Los polígonos regulares son equiláteros considerando que todos sus lados poseen la misma longitud.
  • Los polígonos regulares son ángulos equitativos, puesto que todos sus ángulos interiores tienen el mismo ancho.
  • Los polígonos regulares se pueden incorporar en una circunferencia.
  • A cualquier polígono regular se le puede amoldar un circunferencia

Ángulos de un polígono regular

  • Central todos sus ángulos son congruentes
  • Interior el ángulo interior mide en grados sexagesimales

Área de un polígono regular

Un polígono regular cualquiera puede descomponerse en muchos triángulos como las lados tenga el polígono. Cada uno de estos triángulos tiene como fundamento el largo del lado del polígono y como altura la apotema del polígono. El polígono regular lograría convertirse en un  romboide donde el fundamento sería igual a la mitad del perímetro del polígono y como altura la apotema.

Área del polígono= perímetro x apotema /2

Para calcular el área de un polígono regular hay diversas fórmulas y todo va depender  de los elementos conocidos.

Diagonales de polígonos regulares

  • Número de diagonales ,para saber el número de diagonales Nd de un polígono de n vértice se debe hacer el siguiente argumento :
  • De un vértice que se pueda trabajar partirán n-3 diagonales en el que n es el número de vértices, debido a que no hay ninguna diagonal que la una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices cercanos.
  • Dicho procedimiento es válido para las n vértices del polígono
  • Una Una diagonal une dos vértices ,por lo que aplicando el argumento anterior estimarían   el doble de diagonales de las existentes

Construcción de un polígono regular

Para formar un polígono regular se deben seguir los siguientes pasos:

  • Se dibuja una circunferencia y se indica el centro
  • Se busca el ángulo al centro y para lograrlo debes dividir 360° entre el número de lados del polígono que se quiera construir .
  • Una vez ya con el ángulo en el centro se traza la cuerda que le corresponde.
  • Usando el compás con la misma longitud de la cuerda se halla los puntos sobre la circunferencia.
  • Se unen estos puntos y así obtenemos el polígono que queramos y así sumar el área de dichos triángulos o cuadriláteros

Ejercicios con polígonos regulares

  • Calcular el perímetro de un pentágono regular donde sus lado mide 1,90m.

Solución:

Perímetro =1,90m. 5 = 9.5m

  • Una piscina tiene una figura de hexágono regular y su lado mide 20m. Luisa da 4 vueltas exactas en todo su entorno ¿Qué recorrido habrá hecho ?

Solución:

Perímetro=largo del lado. n° de lados

Perímetro =20m.6=120m lo que quedaría de la siguiente manera;

Luisa al dar una vuelta recorre 120m al completar las 4 vueltas ya habrá recorrido 120m.4=480m

Perímetro de un polígono regular

El perímetro de un polígono regular se resuelve por medio de una multiplicación de la longitud de un parte por el número de lados que dicho polígono tiene .

Perímetro = Longitud de un lado. Número de lados .

Ejemplo

Halla  el perímetro el perímetro de un hexágono regular conociendo que su lado mide 3,5cm.

P=longitud . lado. n°de lados

Perímetro =3.5cm .6

Perímetro =18cm.

Polígonos irregulares

Se dice a cualquier polígono que no es regular, según la lógica ya que existe uno regular dicho caso hay que observar que se cumpla que los lados no son de igual longitud, por otro lado no todos los ángulos anteriores son de igual tamaño, por lo que se debe diferenciar lo siguiente:

  • Todos los lados del mismo largo, pero no todos los ángulos interiores de igual tamaño.
  • No todos los lados de igual longitud pero todos los ángulos interior es de igual tamaño

Los polígonos irregulares más simples para cada uno de los casos son:

  • Un pentágono irregular
  • Un cuadrilátero irregular
  • Un triángulo escaleno

Área de un polígono irregular

Para determinar el área de un polígono irregular, deberás utilizar el sistema de triángulos para descomponer el polígono irregular en cuadriláteros o triángulos  pequeños conocidos, teniendo cuidado de no perder la forma del polígono irregular original, lo que resulta que el área se consigue utilizando el método de triangulación para trabajar con el mismo y sumando el área de dichos triángulos o cuadriláteros.

Polígonos de frecuencia

se llama polígonos de frecuencia al esquema que se crea a partir de un una distribución de frecuencia lo que permite que  los mismos usen columnas verticales para mostrar reiteración el polígono de frecuencia se efectúa enlazando puntos de mayor altura de dichas columnas.

Características del polígono de frecuencia

  • Se utiliza para trabajar en columnas verticales, para ello no se  deja espacios entre uno y otro, en el mismo se refleja la temperatura máxima promedio.
  • Los polígonos de frecuencia se suelen usar cuando se aspira reflejar diversas estructuras diferentes a las listas cruzadas de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa descrita en el mismo dibujo.
  • No señalan frecuencia acumulada
  • El punto con mayor altura figura la mayor frecuencia
  • Se emplean para simbolizar tablas tipo B
  • El área bajo la curva representa el 100% de los datos .El polígono de frecuencia esta creado para mantener las misma área de las columnas.

¿Para qué se usa él polígono  de frecuencia?

Se usa para representar hechos inestables tanto reservados como constantes partiendo del diagrama de columnas, según el tipo de tabla de frecuencia empleada.

Método para realizar un polígono de frecuencia 

  • Se debe recolectar información de temas que se vayan a estudiar que sea cuantitativa para realizarlo de manera mas fácil.
  • Tomar en cuenta los limites inferiores y superiores para todos las clases de elementos a estudiar
  • Precisar la frecuencia de cada tipo de factor que se encuentre dentro de los términos a fijar
  • Se efectúa la operación del término medio de los limites y para finalizar se realiza el grafico lineal cerrado con su respectiva información .

Lineamientos para expresar un polígono de frecuencia

  • Los valores que se tengan que expresar tienen que estar representadas por el eje de las abscisas
  • El eje y es donde se coloca la frecuencia relativa que atribuye diversas clases que se van a expresar en dicho eje .
  • Cada punto hace referencia  al punto que debe tener cada uno tanto en el eje de las abscisas y la altura
  • Las líneas a marcar se deben cerrar en los extremos
  • En el caso que las clases tengan términos diferentes se debe realizar un cálculo de frecuencia .

Polígono convexo

Es aquel que cada uno de los ángulos anteriores mide 180°grados y es simplemente convexo si  todas sus pendientes son interiores.

¿Cuándo un polígono es convexo? Se llaman polígonos convexos a todos aquellos que que tienen  ángulos internos  menores a 180 grado y las diagonales son interiores, esto significa que todos los polígonos regulares son convexos, aunque una gran parte de los polígonos irregulares también lo son.

Es importante considerar que todos los triángulos y polígonos regulares son convexos, excepto los polígonos regulares estrellados. Por otra parte, un polígono simple puede ser cóncavo o convexo.

Propiedades de los polígonos convexos

Un polígono simple cumple con las siguientes propiedades que son equivalentes a la condición de convexidad:

  • Sus ángulos son menores a 180 grados
  • Cada segmento cuyos extremos estén en la frontera del polígono está en la región poligonal.
  • Los vértices del polígono coinciden con el cierre convexo
  • Las diagonales están contenidas en la región poligonal, lo que no ocurre con los cóncavos
  • El resultado de la intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.

Polígono cóncavo

Se le dice polígono cóncavo al polígono que tiene un lado que al alargarlo lo parte, un polígono cóncavo tiene por lo menos un ángulo interior  que mide de 180° grados

Elementos del polígono cóncavo

  • Angulo entrante : Angulo el cual su medida es mayor a 180°
  • Diagonal : forma segmento resultado de la unión de dos vértices no sucesivos, el cual se toma desde el vértice de un ángulo, que  no cruzan al otro lado.
  • Punto interior : Este punto es interior a uno de los polígonos convexos resultado de la descomposición, por medio de una diagonal que van desde el vértice de un ángulo entrante.
  • Interior :es el juego de todos los puntos interiores
  • Región poligonal :es cuando se une el polígono y dicho interior
  • Punto exterior: este punto no está la región poligonal, en el que el exterior del polígono es el conjunto de los puntos exteriores.

Polígonos estrellados

Son polígonos cóncavo cruzados con forma de estrella se consigue  uniendo la forma intermitente de dos en dos de tres en tres lo vértices de un polígono regular convexo .

Propiedades de un polígono estrellado

  • Género: número de lados que forma el polígono
  • Paso: suma de diagonales de la circunferencia que abarca el lado
  • Núcleo: es el polígono que se origina en su interior.
  • Nodo: es cada uno de los vértices de un polígono estrellado a ello se le llama nodo.

Propiedades del polígono convexo

Por cada ángulo entrante hay al menos una diagonal que contiene  puntos del exterior del polígono en excepción de sus bordes. Un polígono cóncavo de n vértices, de los cuales sólo uno es entrante, admite por lo menos un método de triangulación abierto en n-2 triángulos trazando diagonales desde el vértice entrante, además un polígono cóncavo de n lados puede tener una cantidad de ángulos entrantes.

Algún polígono cóncavo tiene por lo menos dos lados de manera que su prolongación determine dos semiplano y divida al peligno en dos partes, de modo que cada semiplano obtenga solo una de las dos partes del polígono.

Polígonos semejantes

Los polígonos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan distintos tamaños.

Dos polígonos son semejantes

  • Porque tienen el mismo número de lados
  • Para cada ángulo que en algún polígono se haya un ángulo notable en el otro polígono que es congruente
  • Endecágono 11
  • Dodecágono 12
  • Undecágono 13
  • Tetra decágono 14
  • Pentadecágono 15
  • Hexa decágono 16
  • Heptadecágono 17
  • Octodecágono 18
  • Enea decágono 19
  • Isodecágono 20
  • Henecosagono 21
  • Doicosagono 22
  • Triacosagono 23
  • Tetraicosagono 24

Las longitudes de todos los lados correspondientes en los polígonos son proporcionales. Si dos polígonos son semejantes se puede decir que sus lados iguales son proporcionales pero no se puede decir exactamente que sean o que cumplan con la condición para poder decir con exactitud son semejantes.

Polígonos congruentes:

Son imágenes geométricas que tienen la misma figura y volumen.

Congruencia de triángulos: Se dice que dos triángulos son coherentes cuando sus lados paralelos tienen la misma longitud y sus ángulos paralelos tienen las mismas dimensiones. Métodos razonables de de triángulos.

Punto #1 (AAL) Dos triángulos son coherentes si tienen dos de sus ángulos correspondientes y el lado entre ellos.

Punto #2(LAL) Dos triángulos son coherentes si tienen dos lados iguales y el mismo ángulo abarcado entre ellos.

Punto #3 (LLL) Dos triángulos son coherentes si tienen los tres lados iguales.

Punto #4 (LLA) Dos triángulos son coherentes si tienen dos lados y el ángulo sobre uno de ellos iguales.

Polígonos congruentes

Se dice que que un polígono es congruente cuando dos polígonos son congruente si convergen cuando situamos uno sobre otro

Figura congruente

Se dice que dos figuras son congruentes si una de ellas puede ser transformada en la otra por medio de actividad como la rotación, traslación, simétrica con relación a una recta. La congruencia de polígonos se puede considerar por medio de la cohesión de triángulos

Listado algunos polígonos según sus lados:

    •  Triángulo 3
    • Tetrágono 4
    • Pentágono 5
    • Hexágono 6
    • Heptágono 7
    • Octógono 8
    • Eneagono9
    • Decágono 10
    • Pentaicosagono 25
    • Hexaicosagono 26
    • Heptaicosagono 27
    • Octaicosagono 28
    • Eneaicosagono 29
    • Triacontagono 30
    • Triacontakaihenagono 31
    • Triacontakaidigono 32
    • Triacontakaitrigono 33
    • Triacontakaitetragono 34
    • Triacontakaipentagono 35
    • Triacontakaihexagono 36
    • Triacontakaipentagono 37
    • Triacontakaioctagono 38
    • Triacontakaieneagono 39
    • Tetracontagono 40

Nominación de polígonos

 Los vértices y lados se indican con letras desde las “a” y en dirección opuesta al de las agujas del reloj los ángulos con letras en mayúscula y los lados con letras del vértice opuesto siempre y cuando sea en minúscula.

Polígonos recíprocos

En dicho espacio podrás observar que regulares, cóncavo, y complejos, cuando todos los ángulos son iguales y las letras además se les dice regular, cuando el ángulo interno es mayor a 180° se lo podrá decir que es cóncavo y esto dará como resultado que tiene una cueva y de no ser así sería convexo.

Polígono complejo

Se le dice así cuando se cruza asimismo y así además se puede decir que muchas reglas sobre polinomio no hacen efecto cuando son complejos. Ángulo interior de un polígono es el ángulo formado internamente al polígono por dos lados seguidamente.

Perímetro

Es la suma de la longitud de sus lados O lo que es lo mismo, la medida de la línea poligonal cerrada que le atribuye el polígono está constituido de líneas que no deben ser curvas cerradas lo que indica que un círculo no puede ser llamado polígono.

La forma de un polígono si puede ser curvilínea y así de le podrá llamar polígono curvilíneo, aunque así cumplan las mismas reglas de uno normal solo que este viene a ser más redondo.

Relación del polígono con respecto a la circunferencia.

  • Inscrito: un polígono se encuentra inscrito en una circunferencia si todos los vértices del polígono son puntos de la circunferencia.
  • Determinado: se dice que un polígono está determinado en una circunferencia cerrada todos los lados del polígono son adyacente a dicha circunferencia para hallar el valor de r. Arquímedes fue un investigador quien tuvo la hipótesis de un círculo encerrado entre una circunferencia de un número de lados y un polígono de lados cada vez mayor y se sobre entiende la longitud de la circunferencia tiene que ser siempre mayor que el perímetro del polígono y menos que el perímetro del polígono determinado.
  • Polígono construible: dicho polígono es aquel que puede ser construido con regla y compas y al mismo tiempo es regular.

Para construir dados polígonos se verán condiciones como:

En el año 1796 Gauss demuestra que el polígono regular de 17 lados que se podía realizar con regla y compas después de mucho tiempo desarrollo la teoría de los periodos Gaussianos la cual permitió formular condiciones para dichas construcciones de polífonos regulares

  • El heptágono regular no puede ser realizado con regla y compas
  • El Heptadecágono regular que tiene 17 lados puede ser construido con regla y compas ya que el 17 es un número primo

Las figuras planas se forman por líneas poligonales cerradas y su interior casi siempre es llamado polígonos que viene del griego y que significa muchos ángulos, pero comúnmente se le conoce por el número de sus lados

  • Lineal poligonal abierta
  • Lineal poligonal cerrada

Lados del polígono

Se habla de los segmentos que contiene el polígono si los mismos son marcados unos detrás de otros serian lados consecutivos

  • Vértice de un polígono
  • Son los puntos que unen los lados de un polígono
  • Diagonales de un polígono
  • Son segmentos que unen dos vértices no seguidos.
  • El ángulo frontal esta creado externamente al polígono por uno de sus lados y se expande del lado consecutivo.

Polígonos estrellados.

En el caso de los polígonos estrellados se puede extraer de todos los polígonos, en este caso se puede lograr un polígono estrellado.

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