Polinomios

Polinomios: aprender a resolverlos fácil

¿Sabes qué son los polinomios y su aplicación en la vida diaria? Un polinomio es una expresión algebraica en la que interfieren diferentes números y letras que se encuentran asociadas por sumas, multiplicación y potencias, además contienen la variable que se compone con letras, debido a que pueden aceptar diferentes valores los cuales también se llaman factor multiplicador.

Operaciones con polinomios

Se conoce como operaciones con polinomios los cálculos aritméticos o algebraicos que separando uno o más polinomios da unos valores u otro polinomio de acuerdo al cálculo que se realice. Dentro de las operaciones a realizar se encuentran suma, resta, multiplicación y división.

Para resolver es importante tener en cuenta de qué operación se trata. Por ejemplo, si es una suma de polinomios, deberás agrupar términos semejantes, una vez estén organizados, procede a sumar o restar los coeficientes y mantienes la misma variable. Recuerda que signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor.

Ejemplo:

3x+4y-6x+7y

=3x-6x+4y+7y

=-3x+11y

Valor numérico de un polinomio en un punto

Dado un polinomio P(x) se calcula el valor numérico dado  un valor determinado. Esto significa que dado un P(X) =2x+3, cuando x=3, lo que deberás hacer es sustituir el valor de x en la función polinómica.

Ejemplo:

P(x)= 2x+3; x=3

P(3)= 2(3)+3

P(3) =6+3=9

Dos polinomios son iguales

Dos polinomios son iguales si tienen coeficientes, variables y exponentes iguales. A continuación, aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo:

8y +4 y 4 +8y

Términos semejantes

Se dicen que los términos de un polinomio son semejantes cuando tienen la misma variable y el mismo exponente.

Ejemplo:

8m y 10m, pueden sumarse porque tienen la misma variable y exponentes.

Polinomios opuesto

Dado dos polinomios de grado n se dice que son opuestos si !os coeficientes de los monomios de igual grado son de distintos signos.

  • Polinomio nulo: es el que tiene todos sus coeficientes nulos. P(x)=0
  • Polinomio homogéneo: es el que tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

Ejemplo:

P(x)= 3x +5x-9x-8x

  • Polinomio heterogéneo: los términos de un polinomio heterogéneo son de distintos grado

Ejemplo:

P(x)=2x³+3x²-3

  • Polinomio completo: cuando el polinomio cuenta con todos los términos desde el término con coeficiente diferente de cero de mayor grado hasta el término independiente o constante.

Ejemplo:

P(x)=8x³-7x²+3x-2

  • Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado si los monomios que lo conforman están en orden decreciente.

Ejemplo:

P(x)=7x3-12x2-4x-8

Clases de los polinomios según su grado

  • Polinomio de grado cero       P(x)=2
  • Polinomio de primer grado   P(x)=3x+2
  • Polinomio de segundo grado P(x)=2x²+3x+2
  • Polinomio de tercer grado       P(x)=x³-2x²+3x+2
  • Polinomio de cuarto grado      P(x)=x⁴+x³-2x²+3x+2

Polinomios por el número de términos

  • Monomios: Es un polinomio que consta de un solo monomio P(x)=2x²
  • Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios          P(x)=2x²+3x
  • Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios        P(x)=2x²+3x

Los polinomios son aplicables también en el área de biología, por lo que es posible hacer cálculos de una posible población de un cultivo por medio de expansión de polinomios que suele usarse también para el cálculo de la estructura en las dimensiones de las proteínas, si así fuera el caso, todo va  a depender de lo que se quería expresar por medio de esta expresión algebraica.

División de polinomios

En algebra la división de polinomios es una operación algebraica que permite dividir un polinomio por otro polinomio diferente de cero. Para resolver este tipo de ejercicios puedes hacerlo a través de la regla de Ruffini, donde el cociente de la división es un polinomio x con el grado menor que el grado del dividendo y el coeficiente del término general es igual al coeficiente del término general del dividendo.

Es importante tener en cuenta que el algoritmo es una referencia unánime del método aritmético de divisiones larga. La división es una operación matemática parcial en el conjunto de los números naturales y los números enteros ya con los racionales, reales y complejos es posible que siempre se efectúen exigiendo que el divisor sea distinto.

Pasos para realizar una división de polinomios

  • En primer lugar ordena el polinomio de forma decreciente.
  • Seguidamente, toma el primer término del polinomio entre el primer término del divisor, ten en cuenta dividir los coeficientes y las variables. Para dividir variables ten en cuenta que deberás colocar la misma base y restar los exponente.
  • Luego, procede a multiplicar el cociente por el término del divisor, el resultado obtenido lo colocas con signo contrario debajo del dividendo.
  • Después realizar la suma algebraica entre los términos del dividendo por el producto obtenido entre el cociente y dividendo.
  • Una vez realizas la suma algebraica, baja el siguiente término del dividendo.
  • Luego, procede a repetir el mismo proceso con el término que has bajado.

Métodos para dividir polinomios con una variable

  • Se organiza el dividendo y el divisor según las potencias descendientes de la variable.
  • Se divide el primer término del dividendo entre el término primero del divisor para obtener el primer termino del cociente
  • Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y le restamos dividendo al resultado anterior para conseguir el primer resto parcial.
  • La división terminará cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor

Propiedades de la división de polinomios

La división esta formada por dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

  • Partes escritas en forma d polinomios D(x),d(x),R(x),C(x)
  • El grado del dividendo D(x) es igual al grado del divisor d(x) mas el grado del cociente C(x) grado D(x)=grado d(x)+grado C(x) y el grado del resto R(x) es menor que el grado del divisor d(x) grado R(x)<grado d(x)
  • El dividendo es igual al divisor por el cociente más el polinomio

División de polinomios entre monomios

  • Se coloca el monomio como denominador del polinomio.
  • Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividiendo por el monomio
  • Se realiza las división correspondiente entre monomios y así se realizan las sumas y restas que sean necesarias

Orden que se debe tener para aplicar la división de polinomios

  • El polinomio debe ser ordenado de manera ascendente y descendente.
  • Si no esta completo el polinomio se dejan los espacios de los términos que faltan .

Factorización de polinomios

Para factorizar un polinomio se puede descomponer en dos o más factores diferentes de 1, de la misma forma que en aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, lo que indica que no son el producto de otras expresiones.

La factorización requiere del campo de base lo que quiere decir que solo tiene sentido para coeficientes con un campo de computación donde cada elemento puede ser representado en una computadora y existen algoritmos para la operación aritmética .

Factorización sin radicales

Se trata de una factorización sin radicales si dos o más factores de un polinomio son iguales entre sí, lo que quiere decir que el polinomio es múltiplo de la raíz del factor.

Factor común

Para determinar el factor común en un polinomio, deberá seguir los siguientes pasos:

  1. Descomponer en factores

 a2+2a Es decir, como ambos términos contienen a, se escribe el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribir los coeficientes de dividir, quedando de la siguiente forma:

a(a+2)

Factorización de polinomios de coeficientes enteros

Para polinomios que contengan los coeficientes definidos sobre un anillo la situación será más compleja y la exigencia del número de divisores enteros que contenga el termino independiente .

Multiplicación de polinomio

Al multiplicar un número por un polinomio da como resultado otro polinomio el cual tiene el mismo grado del polinomio que se multiplica y como coeficiente el producto de los coeficientes del polinomio por el numero

En la multiplicación de polinomios se lleva a cabo de dos formas:

  • Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todo los elementos del segundo polinomio
  • Se suman multiplican los coeficientes de los monomios y se suman los exponentes.
  • Se obtiene otro polinomio del mismo grado

Para multiplicar polinomios se requiere aplicar la propiedad distributiva a las operaciones de números enteros, dentro las multiplicaciones pueden estar presentes los monomios, binomios, trinomios y polinomios. Esto se resuelve de la misma forma como lo haces con los números enteros, teniendo en cuenta que multiplicas los coeficientes de cada término, mantienes la misma variable y sumas los exponentes.

Ten en cuenta que al multiplicar cada término por cada término debes considerar los signos, utilizando la tabla de multiplicar de los signos. Además, asegúrate de multiplicar el monomio por todos los monomios sin dejar ninguno por fuera.

Multiplicación de dos polinomios

Para realizar una multiplicación de dos polinomios se deben seguir los siguientes pasos :

  • Multiplicar cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio
  • Sumar o restar los monomios del mismo grado monomios iguales .

Reglas para multiplicar un polinomio por un monomio

  • Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio tomando en cuenta en cada uno de los términos del polinomio
  • Tomando en cuenta también la regla de los signos y se separa los productos parciales con sus propios signos
  • Se debe hacer uso de la ley de los signos que es la siguiente (+).(+)=(+) (-).(-)=(-) (+).(-)=(-) (-).(-)=(-)
  • Tomar en cuenta la ley de los exponentes en la multiplicación de bases iguales.

Propiedades de la multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios se rige por las siguientes características

  • Propiedad conmutativa donde sirve que el orden de los polinomios a multiplicar no altera el resultado de la misma P(x).Q(x)=Q(x).P(x)
  • Propiedad asociativa donde se multiplica tres o mas polinomios ,el resultado del producto es el mismo sin importar como se agrupen los factores [p(x).Q(x))].R(x)=P(x).[Q(x).R(x)]
  • Propiedad distributiva la suma de dos polinomios al multiplicarla por un tercero es igual a al suma de los grados de los polinomios que se multiplico .

Suma de polinomios

Para realizar la suma de dos o mas polinomios se deben sumar los coeficientes de términos donde el factor  sea igual, lo que quiere decir que las variables y exponentes deben ser los mismos en los términos a sumar.

Propiedades de la suma de polinomios

La ley de cierres cuando la suma de dos o mas polinomios nos da otro polinomio.

  • Propiedad asociativa: Al asociar más de dos polinomios de diferentes forma se obtiene el mismo resultado

[A(x)+B(x)]+C(x)=A(x)+[B(x)+C(x)]

  • Elemento neutro:  En este si se le suma cero a un polinomio sigue dando cero aceptando que aquí cero se le llama el polinomio nulo
  • Propiedad conmutativa: da el orden de los sumandos al resultado por lo tanto el resultado no se altera
  • Se tiene en cuenta el elemento opuesto si A(x) le sumamos su opuesto -A(x) el resultado es cero

Suma de polinomios

Sumar a-b, 2a+3b-c y -4a+5b la suma se puede colocar dentro del paréntesis de la siguiente manera [(a-b)+(2a+3b-c)+(-4a+5b)] luego, colocas todos los términos con sus mismos signos y quedarían de esta manera :

[a-b+2a+3b-c-4a+5b]= a+2a-4a -b+3b+5b

=-a+2b+5b

Se deben colocar los polinomios uno debajo del otro y así igual con los términos semejantes ,luego se realiza la reducción, se separan unos de otro con sus mismos signos .

La suma de polinomios se puede realizar de dos formas:

  • Suma de polinomios en horizontal, para hacerlo así en primer lugar se apunta un polinomio y a continuación en el mismo sentido se apunta el otro que se vaya a sumar en dicho caso para luego reunir los términos parecidos .
  • Suma de polinomios en vertical para realizar dicha operación se debe apuntar el polinomio ordenado y si este esta incompleto y es necesario dejar los espacios de los términos que falten para luego se escribir el polinomio que sigue debajo del anterior ,con la finalidad de que coincida justo debajo el termino semejante al de arriba .

Resta de polinomios

En este caso se suman el minuendo ,el opuesto del sustraendo para hacer dicha resta de polinomios también es importante agrupar los monomios. Para hacer las restas de dos polinomios se deben restar los términos de los polinomios que son semejantes .

Dos formas de como se pueden realizar las restas de polinomio

  • La primera es con el método vertical
  • La segunda es con el método horizontal

A continuación, verás en qué consiste cada una de las formas antes mencionadas.

  • Resta de polinomios vertical primero se comienza por colocar un polinomio debajo del otro de manera que los términos semejantes de los dos polinomios quedan ordenados por columnas .

Ejemplo

P(x)-Q(x) notando que ambos son polinomios

P(x)=7x⁴-2x³+5x-4

Q(x)=4x⁴-3x³+8x²-2x+1

7x⁴+2x³+   +5x-4

-4x⁴-3x³+8x²-2x+1

Entonces en el espacio vacío esta indicando que no hay términos de un determinado grado por lo que se ve dicho espacio en blanco .

Resta de polinomios horizontal

Este método es mucho mas rápido que el anterior y se realiza de la siguiente manera consiste en colocar los dos polinomios en forma de operación algebraica, es decir uno detrás del otro

(7x⁴+2x³+5x-4) – (4x⁴-3x³+8x²-2x+1)

Los monomios del primer paréntesis pueden permanecer igual y los términos el segundo paréntesis se tienen que cambiar de signo porque tienen un signo negativo delante .

Las restas de polinomios es un método sencillo el cual al ser comparado con otros también tiene que ver con alguna expresión algebraica que se desee trabajar .

También para restar polinomios se puede escribir el opuesto de cada uno debajo del otro reflejándose así los monomios semejantes en columnas y de esta forma se podrá sumar .

Polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor es una proximidad polinómica de una función n veces procedente en un punto determinado es decir es una suma de innumerables resultados en espacios estimados de un punto determinado .

¿Dónde se aplica polinomios de Taylor?

El crecimiento de Taylor naturalmente se emplea en activos y productos financieros donde los precios se expresan como una función lineal, también se puede expresar el calculo de algún bono se dice que es un polinomio de Taylor en primer grado

Propiedades de los polinomios de Taylor

Para conseguir  los polinomios de Taylor solo se calcula inmediatamente con la definición, esto quiere decir que para tener no nos queda otra alternativa que seguir repitiendo tantas veces la función lo que resulta poco práctico.

  • La linealidad
  • Derivación
  • Sustitución
  • Otras operaciones

Se nombra polinomio de Taylor de orden k de la función r en el punto a .El polinomio de Taylor es exclusivo polinomio que “de modo conveniente acerca la función en forma asintótica ” en el punto si hay una función h” R y U n polinomio p de orden.

Comprobación de valores

La proximidad de Taylor será suficiente con respecto a la cercanía de x estén los valores para comprobarlos se sustituyen valores próximos a X tanto en al función como en la aproximación de Taylor

Cuando x= 1

Función original X0 =1 f(1)=2.1³-4.1n(1)=2

Aproximación de Taylor

Xo=1 f(1)~8.1²-14.1+8-2

Realizado este ejemplo cuando Xo=1 se puede observar que tanto la función original como la aproximación de Taylor dan el mismo resultado, esto se debe a la descomposición del polinomio de Taylor

Factorizar polinomios

Para factorizar polinomios hay varios métodos

  • Extraer factor común los que significa aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación a razón de la suma, así la propiedad distributiva sostiene a.x+a.y
  • Si se encarga de una desigualdad de cuadrados es igual a sumar por diferencia y se fundamenta en un modelo .
  • Si se maneja un trinomio cuadrado perfecto es igual a cuadrado de un binomio .
  • Si se trata de un trinomio de segundo grado, se iguala el trinomio a cero se soluciona la ecuación y se tiene dos soluciones deferentes y se aplica la formula que concierne.

Para algunos polinomios que contenga raíces enteras se puede emplear la regla de Ruffini ,para que esto ocurra hay que hallar valores de x números enteros que al mantenerlo en el polinomio obtengamos como resultado cero.

Factorización primitiva centrada en el tema

En esta parte se demuestra que la factorización sobre Q es decir los números racionales y sobre 2 los enteros es en esencia el mismo problema .

Gauss comprobó en primer lugar que el producto de dos primitivos igualmente es primitivo eslogan que usaba Gauss ,esto comprende que un polinomio primitivo es incontrastable sobre los racionales si porque si es incontrastable sobre los números enteros.

También comprende que la factorización sobre los números racionales es idéntica a la factorización sobre los números enteros de su parte primitiva. Por otra parte la factorización sobre los números enteros de un polinomio con coeficientes enteros es el producto de la factorización de un lado primitivo por la factorización del tema .

Método de Knonecker

Puesto que los polinomios enteros tienen que factorizar en factores polinomiales enteros y la apreciación de polinomios  son valores enteros, que deben producir números enteros, los valores enteros de un polinomio deben considerar solo en numero limitado de formas y crean sólo un número limitado de varias polinomios.

Procedimiento para dividir polinomios con una variable

Se coloca el dividendo y el divisor de acuerdo a los polinomios descendentes de variables, dividimos el término primero del dividendo entre el divisor  para conseguir el primer número del cociente.

Seguidamente, se multiplica el divisor por el primer término del cociente y se resta al dividendo el resultado anterior para así conseguir el primer resto parcial,  después rehace el método haciéndolo ahora con el dividendo el primer resto parcial, la división se acaba cuando el grado es menor que el grado del divisor .

Ejercicio de división de polinomio aplicando la regla de Ruffini

6x-2x-4x+8 en la misma se debe cumplir los siguientes puntos condicionales

  • Tanto el dividendo (6x³-2x) como divisor (4x+8) deben tener la misma letra es decir la x en este caso .
  • El polinomio divisor (4x+8) debe ser el primer grado donde la x se eleva a 1
  • Los términos del polinomio dividendo (6x³-2x) debe estar agrupado de mayor a menor según el exponente x⁴,x³,x²,x,4
  • El polinomio dividendo deberá estar completo según el exponente mayor aquí faltaría x al cuadrado y la letra al final
  • Si el polinomio dividendo 6x³+0x²-2x+0 para que se pueda empezar a resolver.
  • El método de Ruffini usa es el primer grado de la forma x±b o en la división donde después de un cambio de variable se obtiene el divisor de primer grado .

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