Teorema de Euclides

Las antiguas civilizaciones dejaron un gran legado que sirvió de base para el desarrollo de muchas cosas que han llegado hasta nuestros tiempos. Euclides es uno de los grandes matemáticos de la edad antigua. Este nación en la ciudad de Alejandria en Egipto en el año 325 a.C. y dejo el mundo terrenal en el año 265 a.C., estos son datos aproximados. Este matemático tuvo la oportunidad de fundar su escuela y muchos de sus alumnos tuvieron oportunidad de escribir libros donde destacaban el buen carácter de este ser humano. El cual iba más allá de solamente compartir su conocimiento sobre las matemáticas.

Teorema de Euclides

Euclides tuvo una gran influencia por parte de Platón, el cual tuvo mucha importancia en lo que posteriormente tuvo la oportunidad de desarrollar. Debido a que fue fundamental para la enseñanza de las matemáticas y sus límites.

Los Elementos se trata de la obra más importante de Euclides, esta se encuentra dividida en 13 libros. Resulta importante entender que se tratan de 6 primeros que hablan específicamente sobre la geometría plana. Mientras que los 3 siguientes solamente se centran en la teoría de números, el décimo en inconmensurables y los tres últimos en geometría de sólidos.

Todos estos libros son fundamentales para que se pudieran establecer el conocimiento que Euclides trataba de dar a conocer. Estos hasta la actualidad todavía siguen estando vigentes, pero es claro que han sufridos modificaciones. Sin embargo, dentro de estos libros es que se hace referencia al teorema de Euclides. El cual se puede definir como uno de los más importantes.

Teorema de Euclides referido a la altura

El primero de los casos que se muestra dentro del teorema de Euclides hace referencia al triángulo rectángulo. Donde claramente hace referencia a la altura la cual se traza desde el ángulo recto y es media proporcional geométrica, esto quiere decir que se trata de la altura del cuadrado. Para tener claro es la altura entre los segmentos que tiende a ser determinado por la hipotenusa. Esto se puede ver ejemplificado en la siguiente imagen donde esta un triángulo.

Teorema de Euclides referido al cateto

Para poder entender los teoremas se necesitan de ejemplos y que la explicación sea clara. Esto aplica también para el teorema de Euclides. Cuando se hace referido al cateto, en este caso se tiene un triángulo rectángulo, el cual nos obliga a despejar m y n del teorema de Euclides, en este caso se refiere a los catetos. Se tiene que reemplezar la altura, la cual se obtiene desde el ángulo recto. Es el producto de los catetos entre la hipotenusa.

Teorema de Euclides

Para este efecto el teorema de Euclides nos permite llevar a cabo la siguiente formular tan sencilla y entendible, entonces:

Para la siguiente formula se deberá de reemplazar la m y n con la altura, esto es debido al teorema referido. Hasta este punto entendemos que la aplicación de las formulas no conlleva un gran trabajo, solamente se trata de identificar el punto donde se debe aplicar.

Relación entre los teoremas de Euclides

Ya se ha comprendido la parte más importante del teorema de Euclides, es muy claro lo que nos da a explicar. Sin embargo, se debe entender que los teoremas de altura y catetos tienen una relación entre sí. Esto se debe a que la medida de ambos esta condicionada respecto a la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Si se tiene en cuenta esta parte es necesario entender de que usando los teoremas de Euclides es posible llegar al valor de la altura. Esto se puede conseguir siempre y cuando se haga un despeje de los valores de m y n del teorema de los catetos y se puedan reemplazar en el teorema de la altura. Con este procedimiento es posible cumplir con que la altura es igual a la multiplicación de los catetos divididos entre la hipotenusa. Por lo tanto, lo que se debe hacer es lo siguiente:

  • b2 = c * m
  • m = b2 ÷ c 
  • a2 = c * n
  • n =a2 ÷ c

Como se ha mencionado, en el teorema de la altura se reemplazan los valores de m y n. Esto quedará entonces de la siguiente manera:

  • hc2 = m n
  • hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)
  • hc = (b2 * a2) ÷ c

Ejercicios resueltos

Tenemos un triángulo determinado como ABC, el cual el rectángulo en A va a determinar la medida de AC y AD. No obstante, los datos que se cuentan son AB= 30 cm y BD= 18 cm. A partir de estos datos es que se va a realizar los cálculos correspondientes para llegar al resultado deseado.

Solución

Entre otras cosas se requiere de un poco de pensamiento matemático. Se tienen las medidas de los catetos proyectados en BD y uno de los catetos originales que es AB. Entonce se tiene que encontrar el valor del cateto que corresponde a BC. Ya la idea esta, ahora se tiene que llevar a cabo mediante las formulas que nos proporciona el teorema de Euclides. Para lo que se deberá de interpretar lo siguiente:

  • AB2 = BD BC
  • (30)2 = 18 BC
  • 900 = 18 BC
  • BC = 900 ÷ 18
  • BC = 50 cm

Después de esto el valor del cateto CD va a poder ser encontrado, debido a que se tiene el valor del cateto BC= 50 cm. Se da por entendido de que no se trata de nada tan complicado hasta este momento. Por lo que se deberá hacer lo siguiente:

  • CD = BC – BD
  • CD = 50 – 18 = 32 cm

Una vez que se ha encontrado el valor de CD, también es posible que se pueda encontrar el valor del cateto AC, para esto se aplica de nuevo el teorema:

  • AC2 = CD BD
  • AC= 32 * 50
  • AC2 = 160
  • AC = √1600 = 40 cm

Se puede determinar el valor de la altura AD mediante el teorema de la altura, el cual se usa los catetos CD y BD que han sido proyectados y son conocidos:

  • AD2 = 32 * 18
  • AD2 = 576
  • AD = √576
  • AD = 24 cm

Esto es todo lo que se puede aplicar sobre el teorema de Euclides. Como también se ha explicado el teorema de ejes paralelos y otros más. Este también tiene una alta importancia en la física e ingeniería.

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