Teorema de existencia y unicidad

Teorema de existencia y unicidad

En este artículo nos vamos a encargar de hablarte a fondo sobre el teorema de existencia y unicidad, en el cual se establecen las condiciones que se tienen que cumplir en una ecuación diferencial de orden, contando con una condición inicial, pueda tener una solución única.

Es muy importante tener en cuenta que en el teorema no se da ninguna técnica sobre cómo se puede encontrar la solución.  Más bien, el teorema de existencia y unicidad también se puede extender hasta las ecuaciones diferenciales de orden superior, llegando así a lo que se conoce como el problema de Cuchy.

Es importante tener presente que el uso de este teorema suele estar enfocado en poder conocer cuáles son las regiones de un plano XY en las que puede haber una solución única o si en realidad es que hay otras soluciones posibles.

Si no se puede cumplir la condición de unicidad, entonces el teorema no puede usarse con el fin de predecir cuántas soluciones tiene el problema de Cuchy, pudiendo ser más de una.

Afortunadamente actualmente contamos con una gran cantidad de herramientas online disponibles que nos permiten conocer cualquier tipo de dato, como puede ser la calculadora prima de antigüedad para México, la cual se puede utilizar de forma online y gratuita.

¿Cuáles son las demostraciones del teorema de existencia y unicidad?

Teorema de existencia y unicidad solucion

Hasta el momento se puede decir que hay dos posibles demostraciones para el teorema de la existencia y unicidad. La primera de estas demostraciones fue hecha por Charles Émile Picard y la otra demostración fue encontrada por Guiseppe Peano, quien se baso en los trabajos que había realizado Augustin Louis Cuchy, motivo por el que le problema tiene su nombre.

Un detalle importante que no se debe de pasar por alto es que en realidad las mentes más brillantes del siglo XIX trabajaron en la demostración de este teorema, lo que ayuda a tener claro por que en realidad ninguna de las demostraciones es sencilla.

Para poder demostrar este teorema primero se tienen que establecer una serie de conceptos matemáticos avanzados, como los espacios de Banach, las funciones Lipschitz, el teorema de existencia de Charathéodory, entre otros. Es por eso que en realidad no es un tema nada sencillo.

En realidad, una gran cantidad de las ecuaciones diferenciales que se manejan dentro del mundo de la física terminan tratando con funciones continuas, por lo que en este artículo hemos querido limitarnos únicamente a la forma en al que se puede aplicar el teorema en las ecuaciones más sencillas posibles.

Ejemplo

Para este ejemplo vamos a tener en cuenta una ecuación diferencial con su condición inicial:

y’(x) = -y; con y(1) = 3

¿Hay una única solución posible?

Respuesta:

Para poder responder lo primero que se debe de tener en cuenta es evaluar la existencia de la solución diferencial, todo mientras se tiene que cumplir la condición inicial.

Tal y como hemos podido ver en el ejemplo, tenemos f(x,y) = -y la condición de existencia nos pide saber si f(x,y) es continua dentro del plano XY en donde se tienen que tener las coordenadas x=1, y=3. Así, f(x,y) = -y es la función, la cual en realidad es continua con el dominio y los números, encontrándose entre número reales.

Podemos decir que f(x,y) sí es continua a R2, por lo que entonces el teorema se pude usar para garantizar el hecho de que hay al menos una solución.

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