Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

A través de las matemáticas, se ha podido conocer la manera en que trabaja el universo. El cálculo vectorial es un campo de esta ciencia que ha permitido solucionar problemas de vectores en dos o más dimensiones. Este parte de la geometría diferencial, y ha sido de gran utilidad en la física, sobre todo en lo que respecta a la ingeniería. Uno de los postulados de este campo que ha tomado bastante auge, es el teorema de Gauss.

Esta teoría fue propuesta por Carl Friederich Gauss, un matemático de origen alemán. A través de su investigación, afirmó mediante este teorema que posible realizar una relación entre una integral de superficie, tratándose de una superficie cerrada con una integral de volumen.

De esta manera, es necesario conocer de qué se trata el cálculo integral para poder trabajar con este teorema. El término principal a conocer es la integral. Este se define como una operación donde es posible hallar la función primitiva de una función. De esta manera, se tiene que ∫f(x) dx = F(x), donde F(x) es la función primitiva de f(x). Teniendo claro este concepto y su aplicación, se puede aplicar correctamente el teorema de Gauss.

Teorema de Gauss

Sin embargo, este postulado se apoya en otros enunciados. En primer lugar, hay que recordar que Carl Friederich Gauss también dio a conocer la ley de Gauss, que se encuentra estrechamente relacionado con este teorema. Así mismo, se considera como una generalización del teorema de Stokes.

¿Qué es el teorema de Stokes?

Se sabe que el teorema de Gauss o teorema de divergencia es un caso especial del teorema de Stokes. Teniendo bases de esta teoría, fácilmente se pueden resolver problemas con Gauss. El teorema de Stokes es una proposición que forma parte de la geometría diferencial. Dentro de este, se define que es posible transformar una integral de curva a una integral de superficie. Y de la misma manera, se dice que se estable una relación entre las integrales de línea y de superficie.

Un dato curioso acerca del teorema de Stokes, es que esté inicialmente fue una proposición del matemático y físico de origen británico, William Thompson. Sin embargo, el discutía esta teoría con el colega irlandés, George Gabriel Stokes. Fue este último quien dio a conocer el teorema.

También se ha considerado el hecho de que es uno de los teoremas con más casos especiales conocidos. No solo se limita a Gauss. Se han considerado generalizaciones de este al teorema de Green, el teorema fundamental de cálculo y el teorema de Kelvin-Stokes. Todos estos trabajan en base al cálculo integral, permitiendo la resolución de problemas a través de integrales.

¿Qué es la ley de Gauss?

Pero fue el mismo Carl Friederich Gauss quien propuso otra teoría relacionada con el teorema de Gauss o de divergencia. Se trata de la ley de Gauss, formulada dentro del campo de la física. Se define entonces que establece una relación entre el campo eléctrico y sus fuentes, que en este caso son las cargas.

Pero de manera más específica, se afirma que un campo eléctrico que fluye a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes del campo que se encuentran en el interior de la superficie. Por lo general, se trabaja con campo electroestático y gravitatorio.

Esta ley forma parte de las cuatro leyes de Maxwell. Igualmente, en este grupo se encuentra otra ley de Gauss, enfocada en el magnetismo. Mientras que las otras dos son la ley de Faraday y la ley de Ampère. Todas estas dan a lugar la base de la electrodinámica clásica.

Teorema de Gauss

¿Qué es el teorema de Gauss?

El teorema de Gauss, mejor conocido como teorema divergencia, es un postulado establecido dentro de la geometría diferencial. A su vez, trabaja de la mano con la teoría del cálculo un integral. De esta manera, el teorema define una forma de calcular una integral de un campo vectorial sobre una superficie, a través de una integral de volumen. Este enunciado se expresa a través de la siguiente fórmula:

∬SF.n dV=∭U.F dV

Donde se tiene que:

  • S es una superficie cerrada, la cual contiene al volumen V
  • F hace referencia a un campo vectorial arbitrario
  • n es el vector unitario normal a la superficie.

El teorema de Gauss ha sido considerado como una generalización o caso especial del teorema de Green. Esto ha sido establecido de esta manera, ya que se trabaja una integral de superficie cerrada a través de una integral de volumen. Este hecho ha permitido que ambos teoremas hayan sido estrechamente relacionados.

Historia del teorema de Gauss

Aunque el descubrimiento del teorema de Gauss ha sido adjudicado a Carl Friederich Gauss, en realidad sus inicios fueron de muchos años antes. Las primeras formulaciones vinieron del físico, matemático y astrónomo Joseph Louis Lagrange, originario de Francia. Durante el año 1762 plasmó las primeras ideas en torno al teorema de la divergencia.

Teorema de Gauss

A partir de estas bases, es que otros científicos formularon sus propias variaciones del teorema. En 1813, Carl Friederich Gauss es el primero en dar un postulado más completo en torno a esta teoría. Es así como hace público uno de los primeros enunciados, pasando a conocerse como el teorema de Gauss.

Para 1825, George Green, un matemático de origen británico, propuso un caso especial del teorema de la divergencia, conocido como el teorema de Green. A través de este establecía la relación entre una integral de línea que rodeaba a una integral de curva cerrada simple C y una integral doble que se encuentra en la región D, la cual se encuentra limitada por C. También se me considera un caso especial del teorema de Stokes.

Pero la primera demostración del teorema de Gauss fue dada por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky. En 1831 este ucraniano especializado en física y matemática hace su aporte, logrando establecer la fórmula del teorema de la divergencia. Mediante esta, determina que se puede expresar una integral de volumen a través de una integral doble extendida sobre la superficie que la rodea. Es así como la comunidad científica reconoce este postulado como una combinación, bombeándolo teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky.

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