teorema de Green

Teorema de Green

Las matemáticas y la física son dos ciencias que pasan desapercibidas, pero que siguen presente de manera diaria de nuestra vida. La ingeniería es uno de los campos de mayor aplicación de estas áreas, y sobre todo para el trabajo con integrales. El teorema de Green se ha logrado relacionar estrechamente con las integrales. Y es que la aplicación de este se basa en el cálculo integral.

Cuando hablamos de este término, se hace referencia a un proceso de cálculo que permite obtener una función a partir de su derivada. De esta manera, vuelve a su estado original. A su vez, se conoce a la integral como la operación inversa de la derivada. Al conocer esta teoría, es que se puede entender ampliamente el postulado de Green.

Recordemos que generalmente las integrales son utilizadas para el cálculo de áreas y volúmenes de sólidos de revolución. En el año 1828, un científico británico de nombre George Green, hizo uso de las integrales, para demostrar la aplicación del análisis matemático en lo que conocemos como las teorías de la electricidad y el magnetismo. De esta manera, se le hizo posible formular lo que conocemos con el nombre de teorema de Green.

Es importante señalar que, los aportes que hizo Green con sus estudios fueron muy significativos para el desarrollo de determinados conceptos utilizados en física. Y a su vez, fue de gran aplicación dentro del mundo de la ingeniería, considerándose una herramienta esencial para los avances de la ciencia.

teorema de Green

Historia del teorema de Green

El origen del teorema de Green data del año 1828, cuando el matemático de origen inglés George Green publicó en privado, un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo. De este ensayo solo se imprimieron 100 copias, la mayoría de las cuales fueron distribuidas entre amigos cercanos. Dentro de este ensayo, Green incluyó un teorema muy similar al que conocemos hoy en día con el nombre de teorema de Green.

Al realizar su distribución de manera privada, se impidió que el contenido del ensayo no pudiera hacerse público de forma inmediata. Cuando se dio a conocer permitió la introducción de conceptos necesarios en la formulación matemática de la física, como el de funciones de potencial.

Tardaron muchos años en que saliera a la luz esta teoría. Y ninguno de los que recibió una copia del postulado lo publicó, por lo que permaneció oculto durante un buen tiempo. Posteriormente, en el año 1846 William Thompson (Lord Kelvin), un matemático y físico inglés localizó una copia del ensayo de Green, y lo reprodujo. Calificó la información que halló como de gran importancia, considerando que era un gran aporte a la ciencia.

George Green fue el primero en intentar formular y desarrollar una teoría matemática sobre la electricidad y el magnetismo. Con el desarrollo del trabajo realizado por Green, se sentaron las bases, para las teorías electromagnéticas desarrolladas por  Thomson, Stokes, y otros científicos que revolucionaron la percepción de la física y la matemática.

¿Qué es el teorema de Green?

Es necesario hacer énfasis en el hecho de que tanto en física como en  matemáticas, el teorema de Green establece la relación entre una integral de línea a nivel de una curva cerrada simple C y una integral de tipo doble sobre la región plana D la cual es limitada por C.

teorema de Green

Dentro de este postulado se afirma que, “Sean C una curva cerrada simple positivamente orientada diferenciable por trozos en el plano, D la región limitada porC y F= (P,Q) un campo vectorial en el plano. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D”.

Sin embargo, aunque se considera que el teorema de Green es de gran importancia científica, también se ha considerado como un caso especial del teorema de Stokes. Y es que ambas teorías pueden aplicarse para trabajar de manera conjunta.

Utilidad del teorema de Green

Generalmente este tipo de teoremas resulta muy útil. Esto se debe a que, podemos elegir la forma más sencilla, entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien sea integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas en recinto que delimita la curva.

Es necesario tener en cuenta que en la mayoría de los casos nos encontramos tanto con un campo vectorial como con una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo. Además, otro detalle de importancia es que este teorema nos permite hacer un cambio de integrales para una mejor resolución de las mismas.

Aplicación del teorema de Green

Se ha considerado que una de las aplicaciones más relevantes del teorema de Green consiste en el cálculo de áreas caracterizadas por ser recintos delimitados por curvas cerradas simples. Hay que tener en cuenta que este cálculo se hace a través de una integral de línea sobre el borde de dichas curvas.

El valor de la integral de línea (la cual hace referencia a una integral cuya función es evaluada sobre una curva) que corresponde a un campo vectorial, va a depender de la curva sobre la que se integra así como del sentido en que ésta hace el recorrido.

teorema de Green

Una de las aplicaciones de este teorema, tiene que ver con un instrumento analítico, llamado el número de giros, el cual ofrece un método matemáticamente preciso. Su finalidad consiste en contar el número de veces que el radio vector gira alrededor de un determinado punto al momento de describir una curva determinada. Este instrumento además nos permite asignar una orientación a dicha curva.

Además, este tipo de teorema resulta válido para todas aquellas regiones que tienen la posibilidad de ser descompuestas en diversos trozos. Estos se caracterizan por ser más simples.

Características para la aplicación del teorema

Al momento de elegir este teorema para la resolución de algún problema es necesario tener en cuenta que, el teorema de Green no es posible aplicarlo a todas las integrales de línea. Es necesario tener presente que solo es posible en el caso de aquellas que se caractericen por contar con una curva C, la cual ha de ser cerrada y simple.

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