teorema de moivre

Teorema de Moivre

En este artículo podrás encontrar toda la información sobre el teorema de Moivre, en el que se aplican ciertos procesos fundamentales y básicos de álgebra, como es el caso de la extracción de raíces y las potencias.

Comenzaremos explicando su historia y después veremos algunos ejemplos prácticos para que puedas entenderlo y utilizarlo según las necesidades específicas que tengas.

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¿Qué es el teorema de Moivre? Fórmula

La fórmula del teorema de Moivre fue creada y nombrada por Abraham de Moivre, quien afirmaba que un número complejo (especialmente en el caso cualquier número real) x y para cualquier entero n se puede verificar que:

(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx),

En la formula podemos ver que los números complejos (en donde i representa una unidad imaginaria) se conectan con la trigonometría. De esta forma, en algunas ocasiones la expresión “cos x + i sen x” se puede abreviar simplemente como cis x.

Cuando se expande la parte izquierda de la igualdad y se compara la parte real con la parte imaginaria, se puede derivar una expresión para “cos(nx)” y “sen(nx)” en términos de cos(x) y sen(x). Asimismo, esta misma forma también es posible usarla para poder encontrar distintas expresiones explicitas en la enésima raíz de la unidad, en donde los números complejos z tal que zn = 1.

Ahora explicaremos la historia del teorema para que el tema quede aún más claro:

Historia del teorema de Moivre

La fórmula actual que encontramos en el teorema de Moivre se pudo encontrar por primera vez en la obra llamada ‘Introduction a l’analyse infinitésimale” de Euler, en la cual demostró para todos los números naturales n, la cual fue publicada en el año 1748.

Sin embargo, apareció primero de forma implícita en Abraham de Moivre desde el año 1707 en el trabajo que llevo a cabo sobre las raíces n-ésimas de los números complejos. Ambos problemas están relacionados: al escribir (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) se está diciendo lo equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

abraham de moivre

¿En qué consiste?

En el teorema se establece que cuando se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, en la que r es el módulo del número complejo z, el ángulo Ɵ es la amplitud del número complejo en el que 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, de forma que para poder calcular su n-ésima potencia no se necesita múltiplicarlo por sí mismo n-veces.

De esta forma, en el teorema se indica que cuando se escribe z en una forma trigonométrica, para poder calcular la n-ésima potencia se puede utilizar:

Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ).

En este caso, si n = 2, entonces quiere decir que z² = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces   z³ = z² * z.

O bien, también:

z³ = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

Asimismo, de esta forma es posible llegar a las razones trigonométricas del seno y coseno en lso múltiplos de un ángulo, esto sólo cuando las razones trigonométricas del ángulo se conozcan.

El teorema también puede ser usada para poder encontrar expresiones precisas y que no sean confusas para la n-ésima raíz de un número complejo z, en donde z n = 1-.

Para poder demostrar el teorema de Moivre se utiliza el principio de inducción matemática, en dónde cuando un número entero “a” tiene una propiedad “P”, y para cualquier número entero “n” que sea mayor que “a” que tenga una propiedad “P” cumpla con que n + 1 tiene la propiedad de “P”, por lo que los números enteros que sean iguales o mayores que “a” tendrán la propiedad de “P”.

Demostración del teorema en vídeo

Demostración del teorema de Moivre

De esa forma, la demostración del teorema se hace con los siguientes pasos:

Demostración por base inductiva

Primero se comprueba para n = 1.

demostración 1

Demostración por inducción

En esta ocasión es posible considerar tres casos:

En un entero n > 0, debemos de proceder por medio de la inducción matemática. En dónde n = 1, el resultado es cierto. En la hipótesis se  asume que el resultado verdadero para algún entero positivo K. Por lo que se asume:

Demostración por inducción 1

 

A continuación, consideramos el caso n = k + 1:

Demostración por inducción 2

De esta forma conseguimos deducir que le resultado será verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Así, gracias al principio de la inducción matemática se desprende el resultado verdadero para todos los enteros n>1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera, en dónde cos(0x) + i sin(0x) = 1 + i0 = 1, y z°= 1.

Así, cuando n < 0 se considera un entero positivo m tal n = -m.

De esta forma:

demostración por inducción 3

Generalmente el teorema suele ser cierto para todos los valores enteros de n.

Potencias de números complejos con la fórmula de Moivre

Con esto terminamos con nuestra información sobre el teorema de Moivre, esperamos que la información te haya sido de utilidad.

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