Teorema de Pascal

Teorema de Pascal

Una de las ramas de la matemática que ha tenido gran campo de estudio, es la geometría. A partir de esta, se deriva lo que se conoce como geometría proyectiva. Esta permite estudiar las propiedades descriptivas de las figuras geométricas, dando mayor peso en el concepto de medida. Es aquí donde tiene sus bases el teorema de Pascal, o también conocido como hexagrama místico.

Según su enunciado, cuando un hexágono irregular se inscribe en una sección cónica, se extienden los pares puestos, generando los puntos de intersección. Cada uno de estos son colineales, y son atravesados por una recta conocida como la recta de Pascal. Fue uno de los postulados de Blaise Pascal que logró formular a una temprana edad. Para el momento, contaba con tan solo 16 años.

Sin embargo, es reconocido como una generalización del teorema del hexágono de Pappus. Pero también, se encuentra cercanamente relacionado con el teorema de Brianchon, considerándose como teoremas duales. A través de ambos, es posible estudiar un hexágono irregular que se encuentra inscrito en una cónica.

Teorema de Pascal

¿Qué es el teorema del hexágono de Pappus?

Para entender el enunciado del teorema de Pascal, es necesario tener en cuenta el postulado del teorema del hexágono de Pappus. Este último ha pasado a ser reconocido como un caso degenerado de lo que se propone dentro de la idea del hexagrama místico. De esta manera, Pappus propone la siguiente definición: si una figura de seis vértices, los cuales se sitúan consecutivamente a lo largo de dos rectas, se unen de dos en dos, los puntos de intersección entre ambos estarán alineados. Esto permite atravesar una recta que los una.

Se ha considerado que el teorema de hexágono de Pappus hace referencia a un postulado puramente de incidencia. Aunque este no hace referencia a medidas, es posible demostrarlo a través de axiomas de congruencia de segmentos. Es así como se afirma como un teorema de gran importancia dentro de la geometría proyectiva.

A través del mismo, es posible demostrar otros teoremas de incidencia, dejando de lado a los axiomas métricos. Y de la misma manera, ha podido comprobar que cuando se habla de geometría proyectiva, estamos ante una rama de la geometría enfocada en la incidencia.

¿Qué es el teorema de Brianchon?

Charles Brianchon, un químico y matemático de origen francés, presenta un postulado enfocado en el estudio de hexágonos y secciones cónicas. Este fue bautizado en su nombre como el teorema de Brianchon. En su enunciado expresa que un hexágono formado por seis puntos ABCDEF y seis rectas tangentes dentro de una sección cónica, todas conectan en un mismo punto P a través de los segmentos AD, BE y CF.

Teorema de Pascal

También ha sido simplificado de la siguiente manera: un hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales que lo conforman interceptarán en un mismo punto. Y ese punto de intercepción se conoce como punto de Brianchon.

Aunque este teorema se cumple tanto en el plano afín como en el plano proyectivo real, se considera que en el caso del primero puede ser mucho menos informativo. Esto se puede comprobar tomando como ejemplo cinco rectas que son tangentes a una parábola. Se dice que entonces estas hacen referencia a cinco puntos del hexágono. La otra recta se asume que es una recta del infinito, pero esta de forma parte del plano afín.

Si se dibuja una recta que una dos vértices, se considera como paralela a una de las rectas tangentes. De esta manera, se afirma que el teorema del Brianchon no informa de la presencia de estos casos.

¿Qué es el teorema de Pascal?

El teorema de Pascal o hexagrama místico es un postulado de Blaise Pascal que formuló cuando tenía tan solo dieciséis años. Este afirma que un hexágono arbitrario con puntos ABCDF, e inscrito en una sección cónica, al extenderse los pares de lados opuestos, estos se cruzarán formando los puntos OPQ. A través de estos se puede dibujar una recta que atraviesa y recorre los tres puntos. Esta recta se conoce como la recta de Pascal.

En su mayoría, este teorema se puede ver expresado en un hexágono cíclico inscrito en una elipse. Por lo general, en estos casos los vértices se unen correlativamente según el orden en que aparecen en la sección cónica. Pero también se cumple sin importar el orden en que se conecten los seis puntos, y para cualquier cónico. Es por esto que se habla del término hexágono arbitrario.

Cuando se estudia el teorema de Pascal, se debe tener en cuenta que este es considerado como una generalización del teorema del hexágono de Pappus. Y a su vez, es un dual proyectivo del teorema de Brianchon. Möbius presentó una generalización del enunciado de este postulado: cuando se tiene un polígono con 4n + 2 lados inscrito en una sección cónica, los pares de lados opuestos se extienden hasta cruzarse en 2n + 1 puntos. Se dice que si 2n puntos se encuentran ubicados sobre una misma línea, el punto remanente también ubicará sobre la misma línea.

Historia del teorema de Pascal

Durante los años 30, en el transcurso del siglo XVII, Blaise Pascal acudía junto a su padre a reuniones matemáticas organizadas Mersenne en la ciudad de París. Es aquí donde nace su interés hacia los trabajos de Desargues. Esto lo llevo a que, en 1639 y con solo dieciséis años formular lo que el bautizó como el hexagrama místico.

Teorema de Pascal

Gracias a este postulado, logró demostrar la validez de más de 400 teoremas y corolarios. Sin embargo, un detalle llamativo de su proposición, es que dentro del enunciado no se mencionan magnitudes asignadas a los segmentos o los ángulos. Así es como pasa a considerarse dentro del área de la geometría proyectiva.

Relación entre el teorema de Brianchon y el teorema de Pascal

Al tratarse el teorema de Pascal de un dual proyectivo del teorema de Brianchon, se dice entonces que es posible transformar uno en otro cuando se sustituye sus elementos y operaciones en sus duales correspondientes. Dicho enunciado es válido y aplicable entre ambos postulados. Y una manera de comprobarlo, es al comparar la definición de ambos teoremas:

  • Teorema de Pascal: cuando se tienen seis puntos en una sección cónica, se extienden los lados opuestos dos a dos hasta que estos se corten. Los tres puntos que se obtienen a partir de la intersección se ubicarán sobre la misma recta.
  • Teorema de Brianchon: cuando se tienen seis tangentes en una cónica, y estas se cruzan de dos en dos logrando formar seis puntos de intersección. Se dice que al unir las tres rectas que unen estos puntos opuestos, se cruzan en un mismo punto.

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