Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Mediante el Teorema de Pitágoras, es que se puede estudiar el triángulo rectángulo, una figura que ha tenido aplicación en distintas ciencias. Se caracteriza por tener dos lados menores conocidos como catetos, y un lado, siendo el más largo, que se denomina hipotenusa. Además, se forma un ángulo recto de 90º entre los catetos.

Este teorema combina nociones de matemáticas, geometría y trigonometría. Dentro de su enunciado se establece que el cuadrado del lado más largo, conocido como hipotenusa, equivale a la suma de los cuadrados de los catetos, siendo estos los lados más cortos del triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras

 

De esta manera, se establece la fórmula c2=a2+b2, siendo estas letras designadas a “c” como la hipotenusa, “a” y “b” como los catetos opuesto y adyacente. A través de esta misma, es que se pueden obtener el valor de los otros lados del triángulo, siempre que se conozcan las otras longitudes.

El teorema recibe su nombre del reconocido filósofo griego Pitágoras, quien también se desempeñó como matemático. En algún tiempo de su vida, se dedicó al estudio de los triángulos rectángulos, logrando así demostrar la aplicación del teorema sobre estas figuras. Sin embargo, aunque su mayor aplicación ha sido con fines educativos, se ha logrado comprobar que a lo largo de la historia, mucho antes del nacimiento del filósofo, ha formado parte de la vida diaria de las civilizaciones; y en la actualidad muchas personas han logrado comprobar este hecho.

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

En términos básicos, el concepto del Teorema de Pitágoras declara que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos que componen un triángulo rectángulo. De esta manera, se establece que es aplicable únicamente a estas figuras. Pero no se refiere directamente a la longitud de la hipotenusa, identificada como el lado más largo del triángulo. Cuando se habla de este enunciado, también se debe recordar que puede trabajar a través de las áreas, estableciendo de esta manera que el área del cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Pitágoras

Es así, como se logran identificar tres lados: una hipotenusa, la cual es fácil reconocer por ser el lado más largo, y los catetos, que son los lados que poseen una longitud más corta. De aquí, nace la siguiente fórmula: c2=a2+b2, siendo “c” la hipotenusa, “a” y “b” para los catetos. Algunos autores no utilizan la letra c, sino que prefieren utilizar la “h”.

A partir de la misma fórmula, se puede calcular los valores de los otros lados, siempre que se conozcan las otras dos longitudes. Se define de esta manera que la longitud de un cateto es menor a la longitud de la hipotenusa, considerándose de esta manera para su cálculo:

  • b2=c2-a2
  • a2=c2-b2

Con la aplicación de cualquiera de estas fórmulas, es que se puede conocer el valor de cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Es necesario siempre tener en cuenta que para calcular la hipotenusa, es necesario conocer las longitudes de los catetos; y si se desea calcular el valor de un cateto, se deben tener los valores de la longitud del otro cateto y de la hipotenusa.

Historia del Teorema de Pitágoras

Si bien este teorema aplicado sobre los triángulos rectángulos se le adjudica como una idea del filósofo Pitágoras, se conoce que mucho tiempo antes otras civilizaciones tenían conocimientos sobre este, aunque no bajo ese nombre. Los griegos demostraron al mundo que a través de las ciencias, sobre todo la matemática, se podía explicar cada uno de los fenómenos que ocurrían, y no existía ninguna relación con los aclamados dioses. Es así, como Pitágoras logra demostrar el teorema a través del estudio de este tipo de triángulos.

Teorema de Pitágoras

 

Durante años, muchas aplaudieron este postulado, y el filósofo griego ganó reconocimiento gracias a este. Pero con la influencia de los arqueólogos, se pudo estudiar más a fondo de dónde provenía este teorema, llegando a tener pruebas que los babilónicos ya tenían conocimientos en cuanto a los triángulos rectángulos. Unas tablillas de arcilla que fueron ubicadas en zonas pertenecientes a la antigua Mesopotamia, fueron la evidencia clave para demostrar que desde hace mil años antes del nacimiento de Pitágoras, ya se venían aplicando estos conocimientos. Algunos afirman que fueron de gran importancia para la construcción de las pirámides egipcias, siendo la más reconocida la Pirámide de Krefen.

Los pocos documentos arqueológicos que sobrevivieron a los largo de los años, se encontraban redactados bajo escritura cuneiforme, pero una vez traducidos, se podía evidenciar que en ellos se plasmó información referente a los triángulos rectángulos, y la resolución de problemas en torno a estos, utilizando las ternas de valores. Una de las tablillas más reconocidas, ha sido la Plimpton 322, que actualmente se encuentra en la Universidad de Columbia.

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Aunque la principal demostración del Teorema de Pitágoras que se conoce es la del filósofo griego por el que se bautizó este postulado, existieron muchos otros que comprobaron su aplicación:

Demostración de Platón

En los Diálogos de Platón quedó registrada una fracción destinada a la demostración del Teorema de Pitágoras, a través de un triángulo rectángulo isósceles. Dentro de esta obra se declara que Platón dibujó un cuadrado que comprendía un área de cuatro unidades cuadradas. Tomando como referencia la diagonal AB de este, construye un segundo cuadrado de ocho unidades cuadradas, el cual comprende el doble de la superficie del primer cuadrado.

Teorema de Pitágoras

Se puede observar que sobre la diagonal AB, se construye el triángulo, siendo esta su hipotenusa. Se identifican los catetos AC y BC, cuya área equivale a dos triángulos cada uno que forman un cuadrado, mientras que el área del cuadrado de la hipotenusa posee cuatro de estos triángulos. De esta manera se comprueba el teorema, según lo explicado por Platón.

Demostración de Euclides

Euclides presenta la Proposición I.47, a través de la cual se muestran los cuadrados de cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Se traza una perpendicular que será identificada como CNM, donde C es el punto donde se encuentra el ángulo recto, dividiendo el cuadrado de la hipotenusa AB, obteniendo dos rectángulos alineados a los cuadrados de los catetos: el rectángulo del cuadrado del cateto AC se conoce como AMNH, mientras que el rectángulo del cuadrado del cateto BC se denomina BNMK.

Teorema de Pitágoras

Para demostrar el teorema, se dibujan dos triángulos. Para ambos cuadrados de los catetos, se aplica el mismo procedimiento. En el caso del cateto AC, el triángulo FAB se traza en los puntos F (perteneciente al cuadrado del cateto) y AB de la hipotenusa. El segundo triángulo CAH se construye en los puntos C, A y H (siendo este último parte del cuadrado de la hipotenusa). Una vez que se tienen las figuras, se comprueba que ambos tienen la misma área, obteniendo la primera parte de la demostración.

Se trazan dentro del cuadrado del cateto AC un triángulo a través de los puntos FAC, y otro en el rectángulo AMNH, con los puntos AHN. El área del triángulo FAC se compara con el área de FAB, comprobándose que ambas son iguales ya que la altura sobre la base de FA permanece constante. Lo mismo sucede con CAH y AHN, siendo en constante en este caso la altura sobre la base de AH. AL tratarse de un triángulo rectángulo, al realizar el mismo procedimiento con el cateto BC y el rectángulo BNMK, se deben obtener resultados similares.

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras ha servido para determinar las longitudes de cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Para este caso, es necesario conocer al menos el valor de dos de los lados de la figura, para poder calcular el tercero. Pero sus aplicaciones han ido más allá de esta premisa. Otras de sus aplicaciones ha sido de gran utilidad dentro de la construcción de segmentos cuando se trabajan con longitudes irracionales. Pero también ha podido funcionar para el cálculo de distancias desconocidas

Aunque para muchos resulta inútil la aplicación de la matemática dentro de la vida cotidiana, en el caso del Teorema de Pitágoras es diferente. Al trabajar con triángulos rectángulos, se destaca el hecho de que estas figuras se pueden encontrar diariamente en distintos espacios. Por lo que, de esta manera, es aplicable cada una de las premisas de este postulado, pudiendo obtener resultados favorecedores. Un claro ejemplo es el posicionamiento de escaleras. Al colocar un objeto de este tipo sobre un muro, se puede conocer la longitud del mismo, y la distancia entre un extremo de la escalera y el muro. Entre estos se dibuja un triángulo rectángulo imaginario, que al aplicar el teorema, permitirá conocer la altura del muro hasta el punto donde se ubica el otro extremo de la escalera.

Teorema de Pitágoras

Aunque resulte un poco elaborado este ejemplo, muchos de los profesionales de la construcción aplican el Teorema de Pitágoras dentro de la construcción de planos, siendo los arquitectos y los ingenieros civiles los principales expertos en el área. Pero hasta los albañiles han logrado dominar esta parte de la geometría y la matemática para perfeccionar su trabajo.

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