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Teorema de Steiner

El Teorema de Steiner, mejor conocido como el Teorema de los Ejes Paralelos por muchos, sirve para que se pueda realizar una evaluación más precisa sobre el momento de inercia de un cuerpo extendido alrededor de un eje paralelo.

Este teorema fue desarrollado por Jakob Steiner (1796-1863), un matemático sueco que afirmó que: sea ICM, el momento de inercia de un objeto con respecto a un eje que pasa por el centro de masa de CM e Iz, que es el momento de inercia con respecto a otro eje paralelo.

Se sabe que la distancia D es la que separa a los dos ejes y a la masa M del cuerpo, de forma que se sabe que el momento de inercia del eje sería:

Iz = ICM + MD2

Esto es muy útil porque el momento de inercia es el que se encarga de indicar que tan sencillo es para un objeto poder rotar alrededor de un eje.

Asimismo, se debe de tener en cuenta que esto depende no sólo de la masa del cuerpo, sino que también de la forma en la que se distribuye. Es por este motivo que se le conoce como inercia rotacional, utilizando las unidades y las medidas del Sistema Internacional.

De esta forma, el teorema de Steiner se utiliza para poder mostrar que el momento de inercia Iz siempre será mayor que el momento de la inercia ICM dentro de una cantidad que es dada por MD2

¿Qué aplicación tiene el teorema de Steiner?

Anteriormente ya explicamos de forma breve y resumida qué se demuestra con el teorema de Steiner, pero es posible que aún no tengas clara cuál es su aplicación.

Al utilizar este teorema podemos ver como un objetivo puede rotar alrededor de distintos ejes. Normalmente en las tablas se puede ver solamente el momento de inercia con respecto al eje que está pasando por el centroide, así que el teorema se puede utilizar para facilitar la realización del cálculo en el momento en el que es necesario girar los cuerpos sobre los ejes que no coinciden con este.

Un ejemplo muy sencillo de esto lo podemos ver con una puerta, las cuales por lo general no giran alrededor de un eje que pase por el centro de masa, sino que más bien se mueven a través de un eje lateral gracias a que se utilizan las bisagras para que puedan servir correctamente.

Al poder saber cuál es el momento de inercia se hace mucho más sencillo poder cálcular la energía cinética que está relacionada a la rotación que se realiza sobre ese eje.

En este caso, cuando k es la energía cinética, entonces I es el momento de inercia alrededor del eje, por lo que w es la velocidad angular. D esta forma podemos ver lo siguiente:

K = ½ I.ω2

Como puedes ver, la ecuación anterior es realmente parecida a la fórmula que se utiliza para la energía cinética de un objetivo de masa M que se está moviendo a la velocidad v: K =½ M.v2 en donde I es el momento de inercia rotacional que lleva a cabo en la rotación el mismo papel que la M masa en traslación.

¿Quién fue Jakob Steiner?

Jakob Steiner nació en el pueblo de Utzernstorf, Cantón de Berna, Suiza, en el año 1796, quien cuando tenia 18 se años se convirtió en el estudiante de Heinrich Pestalozzi, para luego estudiar en Heidelberg.

Años después Steiner viajo a Berlín para trabajar como profesor y luego fundó el periódico “Journal für die reine und angewandte Mathematik”, en el que trabajo durante un buen tiempo.

Fue hasta el año 1832 cuando, luego de que publicará su trabajo llamado “Systematische Entwickelungen” recibiera un grado honorífico por parte de la Universidad de Königsberg.

Dentro del campo de la física, el teorema de Steiner, también conocido como teorema de Huygens-Steiner o teorema de los ejes paralelos, se utiliza con el fin de poder determinar el momento de inercia de un material sólido rígido sobre un eje, pudiendo dar el momento de inercia sobre un eje paralelo que pasa sobre el centro de masa, así la distancia perpendicular r entre ejes.

Asimismo, este teorema también puede ser utilizado para poder realizar un cálculo del segundo momento de área de una sección sobre un eje paralelo a otro del cual se conozca el momento.

¿Qué es el momento de inercia?

El momento de inercia de los materiales sólidos rígidos con una geometría simple se pueden calcular de una forma relativamente sencilla cuando el eje de rotación puede coincidir con un eje de simetría.

Los cálculos de momento de inercia sobre un eje arbitrario pueden llegar a ser un tanto complicado, sin importar si es un sólido con una buena simetría.

Cuando el radio de giro k está representando a una cantidad física bien definida, se cumple lo siguiente:

I = M K2

En la fórmula anterior podemos ver que M representa la masa del cuerpo rígido. Mientas que el radio de giro es el que se encarga de representar la distancia del eje en la que se puede concentrar la masa del cuerpo sin la necesidad de variar el momento de inercia.

En realidad, es una cantidad útil que puede llegar a determinarse en el caso de cuerpos que tengan una distribución homogénea de masa, que puede llegar a determinar la geometría.

De esta forma, podemos decir que el teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos es muy utilizado para poder simplificar los cálculos. Cuando conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de masa de dicho objetivo, es posible conocer el momento de inercia que hay con respecto a otro eje que sea paralelo al primero.

Cuando estamos halando de un objeto plano, el momento de inercia sobre el eje perpendicular se puede obtener por medio de la suma de los momentos de inercia sobre los ejes paralelos por medio de un cruce entre el objeto y el plano.

Como puedes ver, el uso de este teorema en realidad va más allá del cálculo de los momentos de objetos planos, siendo bastante valioso para la construcción de los momentos de inercia.

Fuente: tucartaderenuncia.com

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