teorema de Stokes

Teorema de Stokes

En lo que refiere a la geometría diferencial, gran parte de su aplicación se ha relacionado con algebra y matemática. Pero ha llegado a ser considerada de gran utilidad dentro de la física. Es así, como ha sido un gran apoyo para la formulación del teorema de Stokes. Sin embargo, también es conocido bajo el nombre de teorema de Stokes-Thompson, ya que hubo más de un colaborador en su construcción.

En este sentido, William Thompson fue el primer físico y matemático en presentar las bases de este teorema. Pero este fue complementado por George Gabriel Stokes, un colega que trabaja en las mismas áreas científicas. Gracias a este último, es que se logra culminar lo que hoy se conoce como teorema de Stokes. De esta manera, este postulado queda definido como una manera de lograr convertir un integral curva a una integral de superficie. Esto permite crear una relación entre ambos tipos de integrales.

¿Qué es el teorema de Stokes?

El teorema de Stokes es una teoría propuesta por dos científicos irlandeses de las áreas física y matemática. William Thompson fue el prime el realizar sus aportes a este postulado. Y posteriormente, George Gabriel Stokes complementó el enunciado. Aunque se le conoce también como teorema de Stokes-Thompson, fue reconocido solo por el apellido de Stokes al ser este quien lo presentara en un examen parra el Premio de Smith.

teorema de Stokes

De esta manera se tiene que, el planteamiento define el cálculo de una integral de línea que se encuentra dentro del campo vectorial F, la cual tiene una dirección tangencial apuntando a la curva C. Se dice que esta entonces será igual a la integral de la superficie S, la cual se halla en la circulación del campo F que limita con dicha superficie. Es así como se concluye que la orientación de la curva C es positiva, y que la superficie S igualmente está orientada positivamente.

Descripción general del teorema de Stokes

Cuando se habla del teorema de Stokes, se tiene que consiste en una relación entre una integral de línea y una de superficie. Y el enunciado enfatiza que permite convertir una integral de curva en una integral de superficie. Teniendo esto, expertos en el área han determinado que este postulado se considera como una generalización del teorema fundamental de cálculo.

Para verificar esto, es necesario definir este otro teorema. A través de este, se tiene que el cálculo de una integral de una función f que comprende un intervalo [a,b], se puede hacer a través de una antiderivada F de f. De esta manera, se desarrolla la siguiente fórmula:

abfx dx= Fb-F(a)

Al tratarse el teorema de Stokes de una generalización de este otro postulado, entonces se toman en cuenta las siguientes premisas:

  • Una vez definida F, entonces se tiene que dFdx=f. Se parte delos enunciados de las formas diferenciales, donde se establece que f(x) dx es la derivada exterior de una función. En este caso, se afirma que el teorema es solo aplicable cuando se trata de formas diferenciales mayores w, y no de F.
  • Dentro de las matemáticas, cuando se habla de un intervalo abierto [a,b], se hace referencia a una variedad matemática unidimensional. Es así como se define que la frontera está comprendida por el conjunto que integra los puntos a y b. Al integrar este intervalo, entonces se puede considerar como la integración de formas pertenecientes a una variedad matemática de mayor orden. A su vez, se deben cumplir dos condiciones: la variedad matemática debe ser orientable y la forma debe ser compacta, permitiendo que se origine una integral definida.
  • La frontera al estar comprendida por los puntos a y b,  se habla de un intervalo abierto. Esto permite afirmar que el teorema de Stokes es solo aplicable a variedades orientadas M con frontera. Además, en el caso de la frontera ∂M de M, se dice que se trata de una variedad, por lo que es capaz de heredar la misma orientación.

teorema de Stokes

Relación de otros teoremas con el teorema de Stokes

La matemática y la física son dos ciencias estrechamente relacionadas y que colaboran entre sí. De la misma manera en que una se apoya sobre la otra, es como el teorema de Stokes se puede ver complementado con otros postulados pertenecientes a estas ciencias. S así, como se presentan los siguientes casos:

  • Teorema de Kelvin-Stokes: se trata de una generalización del teorema de Stokes, el cual establece que una integral de superficie del rotor de un campo vectorial sobre una superficie abierta, será igual a una integral cerrada del campo vectorial que hace referencia a la frontera de la superficie.
  • Teorema de Green: es una forma de aplicación del teorema Kelvin-Stokes, pero que es válido en casos de aplicación sobre un plano xy
  • Teorema de Gauss: también conocido como teorema de la divergencia, se aplica en campos vectoriales con la forma n-1. Esta se obtiene a través de la contracción del campo vectorial a través de la forma de volumen euclidiano.

El teorema de Stokes y las superficies orientables

En lo que refiere al teorema de Stokes, este puede tener una aplicación mucho más amplia. Y es que es posible usarlo en casos donde existan superficies compuestas por más superficies. Pero para ser posible, debe cumplir con dos características: ser parametrizadas simples y regulares. Todas tendrán una frontera en común, lo que hace posible que el teorema sea válido.

Para tener una percepción más definida de la aplicación de este postulado en casos de este tipo, se puede formular un sencillo ejemplo. Supongamos que tenemos una forma con tres superficies: S1, S2 y S3. Se denominará arista al borde que comparten dos superficies adyacentes. Conociendo estos detalles, se procede a determinar cuál es la dirección del vector normal unitario de una de las superficies. Esto es posible a través de la regla del sacacorchos, que nos indicará que la dirección en la arista en la primera superficie es positiva, y lo mismo será para la otra superficie adyacente.

Pero si se toma en cuenta la superficie global, se dice que esta es orientable si a cada una de las superficies que la componen se le puede elegir una orientación. En el caso que de que las aristas comunes tengan orientaciones opuestas, entonces se dice que la superficie global está orientada. Pero previo a definir la integral, hay que especificar que la frontera de la superficie global equivale a las fronteras de todas las superficies, sin tomar en cuenta las aristas comunes.

teorema de Stokes

Ya teniendo claro todos estos puntos, se formula una integral de campo. Esta se define como la suma de todas las integrales de cada una de las superficies simples que componen la superficie global. Pero cuando se va a aplicar el teorema de Stokes, se debe tomar en cuenta que la integral de la superficie es igual a la integral de línea que hace referencia a la frontera de la superficie global orientada. En este caso, se toma en cuenta únicamente la orientación que haya tomado la superficie, ya que en el caso de las aristas comunes con orientación opuesta, estas son anuladas.

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