Teorema de Tales

Teorema de Tales

A través de la geometría, se han podido establecer distintos postulados que permiten el estudio de determinadas figuras. En el Teorema de Tales, también conocido como Teorema de Thales, este se encuentra enfocado hacia los triángulos, pero desglosándose a través de dos enunciados. El primer teorema declara que a trazar una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, se obtendrá otro triángulo proporcional al primero. En cuanto al segundo teorema, se trabaja con triángulos rectángulos, circunferencias y ángulos inscritos;  de esta manera, se establece que el diámetro será la hipotenusa, estableciendo como el centro el punto medio entre los extremos de esta.

Teorema de Tales

Fue gracias al filósofo, sabio y matemático Thales, que se tiene conocimiento de este postulado, que sería bautizado con su nombre. Su interés por las matemáticas y el paralelismo, le permitió definir los enunciados del teorema y demostrar su aplicación a través de procedimientos numéricos y algebraicos. Aunque para el momento se basó en supuestos, se logró comprobar que tenía total validez.

¿Qué es el Teorema de Tales?

La definición del Teorema de Tales se desglosa en dos postulados, ambos enfocados en el estudio de figuras de tipo triángulo. El primer teorema se basa en la semejanza de triángulos, donde se afirma que esto ocurre solo sí se cumplen dos criterios: los ángulos que los componen iguales en ambos casos, y cada uno de sus lados son proporcionales. Es así como se establece la premisa que al dibujar una línea que sea paralela a uno de los lados de un triángulo, esto formará otro triángulo semejante al primero.

Teorema de Tales

Luego se formula un segundo teorema, que se enfoca en los triángulos rectángulos, circunferencias y ángulos inscritos. A través de este se define que la hipotenusa del triángulo se conoce como el diámetro de una circunferencia, tomando como el centro de esta el punto medio que se encuentra entre los dos extremos de la hipotenusa. Mediante esta premisa, se demuestra que un triángulo rectángulo está contenido dentro de una circunferencia.

Historia del Teorema de Tales

Thales fue un filósofo griego de la tierra de Milatos, que sentía un gran interés por las matemáticas y responder interrogantes en torno al mundo físico. Esto lo llevó a viajar a Egipto para ampliar sus conocimientos; pero una vez en el lugar, se sintió inmensamente atraído hacia las monumentales pirámides de Guiza. Tan grande fue la impresión, que se mostró interesado en averiguar la altura de la Pirámide de Keops.

Para responder esta interrogante, se basó en la semejanza de triángulos. Hizo su primera suposición, declarando de esta manera que los rayos del sol que entraban a la tierra eran perpendiculares. Identificó un triángulo, donde los catetos B y A hacían referencia a la longitud que se generaba desde el centro de la pirámide hasta el extremo de la sombra y la altura de la pirámide respectivamente; el valor de este último era desconocido. El segundo triángulo lo construye utilizando una vara, que pasa a conocerse como el cateto C y la sombra que este genera, siendo el cateto D. De esta manera se sabe que se trata de dos triángulos rectángulos.

Teorema de Tales

Ya establecidos estos factores, Thales realizaba mediciones en una hora determinada del día, justo en el momento en que la longitud de la sombra de la vara era igual al tamaño de la vara. De esta manera, afirmó que esto podía ser aplicado a la pirámide, declarando que en ese mismo momento del día, la sombra de esta debía tener la misma longitud que altura, pudiendo medir y determinar el valor de la altura del monumento.

Esta historia se trata de una leyenda narrada por el filósofo Plutarco, y que sirvió para definir el primer teorema de Tales.

Primer Teorema de Tales

De manera más detallada, se puede definir el enunciado del primer teorema de Tales. Este postulado es utilizado para comprobar la semejanza entre dos triángulos, a través de la construcción de una de estas figuras a partir de otro previamente conocido. Pero para llegar a esta conclusión, es necesario tomar en cuenta ciertos criterios:

  • Para que dos triángulos sean semejantes, cada uno de los ángulos que los componen deben ser congruentes, teniendo las mismas medidas.
  • Además, cada uno de sus lados deben ser proporcionales.

Una vez que se establecen estas premisas, se puede definir que al trazar una línea dentro de un triángulo, que sea paralela a uno de sus lados, esto dará a lugar un nuevo triángulo que será similar al primero. Es así como se obtiene la siguiente relación:

Pero se ha comprobado que el primer teorema puede ser aplicado en casos de rectas. Si estas son atravesadas por rectas paralelas, los segmentos resultantes en una recta son proporcionales a los que se forman en la otra recta. En este caso, la relación que se obtiene es la siguiente:

Teorema de Tales

Aplicación del primer teorema

Se han logrado identificar varias aplicaciones del primer teorema de Tales. Se tiene que a través de este se puede dividir un segmento en partes proporcionales. Para esto es necesario trazar una recta L partiendo desde el punto A de la recta AB, y formando un ángulo. En la recta L se realizarán n divisiones de igual medida, y el último punto lo denominaremos C, el cual se unirá con el extremo B. A través de las divisiones ya realizadas, se dibujarán líneas paralelas a la de la unión BC.

Otra de las aplicaciones está destinada a la construcción de la cuarta proporcional geométrica de tres segmentos dados, que se denominarán a, b y c. Para esto, dibujarás dos rectas que partan de un mismo punto, formando un ángulo cualquiera. En una de las rectas se ubicarán los dos primeros segmentos, marcando los puntos A y B; mientras que en la segunda recta se ubicará el segmento c, marcando el punto C. Se traza un línea para unir A con C, y luego una paralela a esta, creando el punto D. Es aquí donde en la segunda recta que contiene a C, se origina el segmento CD, que será reconocido como la cuarta proporcional.

Segundo Teorema de Tales

Este postulado se clasifica dentro de la categoría de teoremas de geometría. Se enfoca en el estudio de un triángulo rectángulo de ángulos inscritos a una circunferencia, definiendo así que los vértices de la figura triangular se ubican sobre el trazado del círculo, concluyendo que la primera figura está contenida dentro de la segunda.

El enunciado de Tales de Mileto declara que al tener una circunferencia de centro es O, y cuyo diámetro es un segmento AC, la presencia de un punto B distinto de A y de C sobre la figura circular da a lugar a un triángulo rectángulo ABC, el cual posee un ángulo recto que se define como <ABC.

Si se traza una línea desde O hasta alguno de los puntos, se obtienen los segmentos OA, OB y OC. Todos corresponden al radio de la circunferencia, lo que determina que poseen las mismas medidas. Pero cuando se estudia el segmento OB, se puede detallar que el triángulo rectángulo se divide en dos triángulos isósceles, reconocidos como OAB y OCB. También se establece que los ángulos de OAB y OBA tienen el mismo valor, así como los de OCB y OBC, identificándose a y b respectivamente. Y al recordar que la suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180º, se obtiene que: 2a+2b = 180º. Y el teorema se puede comprobar finalmente a través de la siguiente fórmula:

Teorema de Tales

Dentro del teorema, se aplican dos premisas que permiten la solución de problemas que involucran triángulos rectángulos y circunferencias:

  • La longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa, conocido como OB, es equivalente a la mitad del valor de la misma. Sin importar la posición en que se encuentre, el valor siempre será constante.
  • La construcción de circunferencias circunscritas, es posible a través de un triángulo rectángulo. Se sabe que el diámetro es igual a la hipotenusa, por lo que el radio es la mitad del valor de esta, que a su vez pasa a ser el centro de la circunferencia.

Aplicación del segundo teorema

Una de las aplicaciones más reconocidas, es hallar rectas tangentes en una determinada circunferencia, la que denominaremos k. Para esto, es necesario conocer un punto P externo que permita trazar los segmentos, definidos como T y T’. La tangente t de valor desconocido viaja desde P hasta tocar a la circunferencia en el punto T. Al ser el radio de k perpendicular a T, se obtiene un triángulo rectángulo OTP. Esto permite construir una circunferencia circunscrita a partir de la hipotenusa OP, definiendo H como el centro de la figura al ser la mitad del segmento.

Una vez que se traza la segunda circunferencia, se detalla que esta intercepta a la primera en los puntos T y T’ que pasan a ser reconocidos como puntos de tangencia de ambas rectas y que a su vez pasan por P. Identificados cada uno de los puntos, se puede dar solución al problema con tan solo trazar las respectivas rectas.

 

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