ejemplo del teorema

Teorema de Taylor

El teorema de Taylor fue creado por el matemático Brook Taylor en el año 1712, aunque antes que él el matemático James Gregory lo había descubierto en el año 1671.

Por medio de este teorema se pueden tener aproximaciones polinómicas en función a cierto entorno y de un punto en el que la función sea diferenciable.

Asimismo, por medio de este teorema se puede acortar el error obtenido por medio de una estimación.

¿Qué es el teorema de Taylor?

El teorema de Taylor es un resultado del cálculo diferencial y se utilizara para demostrar que cualquier función puede aproximarse con procesión arbitraria usando una suma de potencias infinita.

Si la vemos de una forma más rigurosa, y teniendo en cuenta solo un caso de números reales por simplicidad, podría enunciarse de la siguiente manera:

Sea f : R → R una función real y diferenciable hasta orden N. Sea x0∈R un punto arbitrario en el dominio de f en el que se tiene el valor de la función y de las derivadas hasta orden N . De esta forma podemos decir que el valor de la función para un punto x determinado en su dominio se puede aproximar utilizando el siguiente polinomio:

formula 1

En donde se tiene una aproximación exacta en el limite N infinito.

formula 2

Podemos utilizar la siguiente imagen para poder ver un ejemplo de lo que nos dice el teorema:

ejemplo del teorema

Como podemos ver en la imagen anterior, la curva negra es la curva real que se quiere aproximar, siendo esta la curva f(x0), que es el primer término que se tiene en la serie.

Al ver la imagen se puede ver cerca del punto x0=0.9 y es evidente que cerca del punto esta constante termina dando el valor de f(x).

La línea verde que podemos ver es el segundo nivel de aproximación que podemos ver en el ejemplo, la cual se aproxima a la función como una línea recta, quedando muy claro que el dominio en el que la función se aproxima aumenta en comparación al naranja, sin embargo, sigue siendo muy limitado alrededor del punto de x0=0.9.

La curva amarilla es el tercer nivel de aproximación, la cual podemos ver que se aproxima la curva como una parábola. Aquí también podemos ver que la aproximación es realmente mejor, ya que esta solo falla en los extremos de la curva real.

Por otro lado, vemos que el cuarto nivel de aproximación es un polinomio que está indicado por el color azul. Como se puede ver en el ejemplo, se trata de una curva perfecta y se encuentra debajo de la curva negra. En este nivel si se aumenta el dominio veremos que también falla, tal y como se puede ver en la imagen.

Aunque lo cierto es que el problema se podría resolver aumentando el orden de expansión.

¿Quién fue Brook Taylor?

Brook Taylor fue un matemático británico que hoy en día es reconocido por ser el autor del teorema de Taylor, así como otras contribuciones destacadas que están relacionadas al cálculo diferencial.

Taylor estudio en la Universidad de St. John de Cambridge en el año 1701, en donde se licenció en Derecho en el año 1709, para luego terminar su doctorado en el año 1714.

Asimismo, Taylor estudió matemáticas con John Keill y John Machin, para encontrar la solución del “centro de oscilación” en el año 1708, aunque esta no sería publicada hasta el año 1714 en el libro Phylosophycal Transactions of the Royal Society, lo cual comenzaría una disputa con Johann Bernoulli sobre su autoría.

En el año 1715 desarrolló una nueva parte de su investigación matemática en su Methodus Incrementorum Directa et Inversa, la cual hoy en día es conocida como cálculo de las diferencias infinitas.

Entre las aplicaciones, esta fue utilizada para poder conocer la forma del movimiento de una cuerda vibrante, algo que fue reducido por primera vez con éxito al aplicarse en principios mecánicos.

Taylor también trabajó en hacer la fórmula que se conocería como el Teorema de Taylor, la cual sería reconocida en el año 1772 gracias a su importancia matemática cuando Lagrange se dio cuenta del valor que tenía, definiéndola como el “diferencial principal del fundamento del cálculo”.

Después, en su ensayo de Nuevos principios sobre la perspectiva líneal, en el que trabajo en el año 1715, Taylor se esforzó por poder expresar los “nuevos principios” de la perspectiva desde una forma más general y original en comparación a los anteriores, aunque ese trabajo tuvo varios problemas debido a la oscuridad que había en el tema. Este trabajo sería perfeccionado después por Joshua Kirby en el año 1754 y luego por Daniel Fournier en el año 1761.

Historia previa al teorema de Taylor

La historia de las bases del teorema de Taylor comenzó con el filósofo Zenón de Elea, quien fue el primero en considerar el problema de sumar una serie infinita para conseguir un resultado infinito, pero termino descartando su idea al considerar que esto sería imposible, dando lugar a así a las conocidas paradojas de Zenón.

Después sería Aristóteles quien propondría una solución filosófica a la paradoja de Zenón, aunque el resultado matemático de su solución no quedaría resuelto hasta que luego fuera retomado por Demócrito y Arquímedes.

De hecho, fue gracias a Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas pudieron formar un resultado trigonométrico finito.

Avanzando hasta el siglo XIV, podemos encontrar los primeros ejemplos del uso de las series de Taylor, que fueron métodos muy similares a los que fueron dados por Madhava de Sangamagrama. Sin embargo, a pesar de que en la actualidad no queda ningún registro de su trabajo, los escritos matemáticos hindúes posteriores sugieren que fue el quien encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluyendo las funciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y acortangente.

Posteriormente, en el siglo XVII, James Gregory también comenzó a trabajar dentro de esta área y terminaría por publicar distintas series de Maclaurin. En el año 1715 se presentó una forma generar para poder construir dichas series, siendo presentada por Brook Taylor, quien terminó por crear el teorema que lleva su nombre.

Fuente: https://creditosasnefurgentes.es/lista-morosos-gratis/

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