Teorema de Torricelli

Teorema de Torricelli

Gran parte de la ingeniería se ha basado en el manejo de la física para resolver problemas. El teorema de Bernoulli y teorema de Torricelli forma parte del grupo de teorías que han sido claves para responder interrogantes en torno a cómo funciona el universo. Utilizando los principios de la mecánica de fluidos, es que este postulado puede demostrar el comportamiento de un fluido que se encuentra en movimiento dentro de un sistema cerrado.

Según el enunciado, se afirma que el fluido debe contar con dos propiedades: no debe existir viscosidad ni rozamiento. Si se cumple, entonces se considera que se trata de un fluido ideal. A su vez, la energía que este posee permanece constante, siendo la suma de esta: energía cinética, energía gravitacional y energía de presión.

Teorema de Torricelli

A partir de este postulado propuesto por Daniel Bernoulli, también se obtiene el teorema de Torricelli, utilizando algunos de sus procedimientos. Este se enfoca en estudiar un líquido que se encuentra dentro de un recipiente, y que fluye a través de un orificio gracias a la acción de fuerzas gravitacionales. Es así como permite calcular la velocidad de salida del fluido por un agujero. Para el momento en que presentó su trabajo de investigación, no existía un interés hacia el tema, lo que hizo que quedara en el olvido. Bernoulli retomó las ideas, y logró demostrar la hipótesis. De esta manera, ambos teoremas trabajan conjuntamente para definir los resultados del flujo de líquidos por un agujero.

¿Qué es el teorema de Bernoulli?

Para entender cómo funciona el teorema de Torricelli, es necesario conocer las bases del principio de Bernoulli. Ha sido definido como el estudio del comportamiento de un fluido, sea líquido o gaseoso, que se mueve a través de una línea de corriente. Daniel Bernoulli fue quien expuso la teoría de este teorema, argumentando que si la velocidad del flujo aumenta, entonces la presión disminuye.

Para que el enunciado sea correcto, se deben cumplir dos principios: en primer lugar, no debe existir viscosidad ni rozamiento, y en segundo lugar, la energía debe ser constante. En este último caso, se definen tres tipos de energía: cinética, gravitacional y de presión. Si una de esta varía, alguna de las otras dos debe cambiar para que se mantenga constante. De manera general, se dice que la suma de todas las energías es constante.

Aunque Bernoulli fue quien dio a conocer esta teoría, fue Leonhard Euler quien definió la ecuación adecuada para su aplicación:

V2p2+P+pgz=constante

Teniendo de esta manera que:

  • V = velocidad del fluido
  • p = densidad del fluido
  • P = presión del fluido en la línea de corriente
  • g = aceleración gravitatoria
  • z = altura en la dirección de la gravedad

Teorema de Torricelli

Se ha considerado como una teoría de gran aplicación, ya que se ha comprobado que no solo es útil dentro de investigaciones científicas y la ingeniería. Existen casos de la vida cotidiana que demuestran la validez del teorema, explicando ciertos aspectos del universo.

¿Qué es el teorema de Torricelli?

Partiendo de la teoría propuesta por Bernoulli, fácilmente se puede explicar el teorema de Torricelli. Al igual que con el postulado anterior, se enfoca en el estudio de los fluidos, pero en este caso, se busca estudiar la velocidad con que fluye un líquido a través de un agujero en el recipiente que lo contiene por acción de la fuerza de gravedad.

Dentro de su hipótesis, declara que la velocidad con que fluye un líquido contenido en un recipiente abierto a través de un orificio, es similar a la velocidad de un cuerpo que cae al vacío desde la misma altura a la que se encuentra el líquido, hasta el centro de gravedad del orifico.

Ecuación del teorema de Torricelli

Para el cálculo de la velocidad de flujo de un líquido por un orificio en un recipiente, se debe aplicar la siguiente ecuación:

Vt=2.g.(h+u022.g)

Teniendo de esta manera:

  • Vt= velocidad teórica del líquido a la salida por el agujero en el recipiente
  • u0= velocidad inicial
  • h = distancia
  • g = aceleración de la gravedad

En el caso de que se trate de velocidades más bajas, entonces la ecuación a aplicar es:

Vr=Cv2.g.h

Y se define que:

  • Vr= velocidad real media del líquido a la salida por el agujero
  • Cu= coeficiente de velocidad

Si el caso de estudio se trata de una abertura en una pared delgada, el valor que toma Cu es igual a 1.

Teorema de Torricelli

Historia del teorema de Torricelli

Muchos de los conocimientos adquiridos por Evangelista Torricelli, vinieron de parte de su mentor Benedetto Castelli, y del tiempo que se mantuvo al lado de Galileo Galilei. Toda esta información le valió para realizar sus propias investigaciones y mostrar nuevas teorías. Entre sus obras, se encuentra un libro titulado “Del movimiento de los graves en caída natural y de los proyectiles”, dentro del cual incluyó el apartado “Del movimiento del agua”.

Esto fue lo que dio inicio a lo que se conoce hoy en día como el teorema de Torricelli, definiendo de esta manera que: la velocidad con que fluye un líquido a través de un agujero en un recipiente es proporcional a la raíz cuadrada de las profundidades por debajo de la superficie que no posee orificios.

Para llegar a este postulado, se inspiró en las investigaciones de Galileo en torno a la caída de los graves, y Castelli sobre sus teorías acerca de los orificios. De esta manera, presenta una hipótesis tratando de resolver la interrogante de la posible forma que adquiere el chorro al salir el líquido a través de un orificio, deduciendo que se trata de una hipérbola de cuarto orden.

Teorema de Torricelli

Así mismo, tomando como referencia los enunciados sobre la caída de cuerpos al vacío, deduce que la manera en que un líquido fluye por un orificio es comparable con un cuerpo que cae al vacío tomando como referencia la altura inicial del líquido dentro del recipiente hasta el orificio. En otras palabras, se dice que la velocidad con que un chorro fluye por un orificio en el fondo de un tanque es igual a la velocidad de caída libre de un cuerpo al mismo nivel.

Isaac Newton tomo en cuenta los aportes de Torricelli, e intentó comprobar su trabajo. Realizó un experimento para comparar la caída de un cuerpo libremente y la salida de agua de un tanque a través de un orificio. Sin embargo, no pudo obtener los resultados, pero siguió afirmando la validez del teorema, apoyándose en dos hechos: la forma del chorro que sale por el orificio se trata de una hipérbola de cuarto orden, y la existencia de un hielo en la superficie del líquido que hace presión para que este fluya por el agujero del tanque.

Posterior a estos trabajos, Daniel Bernoulli logra ampliar esta hipótesis, utilizando el principio de conservación de energía, generando una teoría más completa y sustentable. Aun así, amabas quedarían en el olvido hasta muchos años más tarde, que se reconoce su aplicación dentro de la física.

Demostración del teorema de Torricelli

Para demostrar la validez de este teorema, es necesario aplicar la fórmula para calcular la velocidad. En ambos casos, se afirma que existen factores insignificantes que no influyen en los resultados. Para el caso del teorema de Torricelli, se declara que no son relevantes las pérdidas relacionadas con la viscosidad. Mientras que en la teoría de caída libre, la fricción provocada por el aire se considera insignificante.

Se ejecuta un experimento donde se deja caer un cuerpo desde la misma altura de la superficie del líquido dentro del recipiente, con una rapidez inicial igual a cero. Utilizando el principio de conservación de energía se puede conocer la velocidad con que cae el objeto entre una distancia definida desde el orificio del recipiente hasta la superficie libre del mismo.

Se procede a aplicar la fórmula para calcular la velocidad, teniendo que cae desde el mismo nivel que la superficie libre de líquido, y con rapidez inicial a cero, se afirma que la energía cinética es nula. Entonces para calcular la energía potencial se aplica:

Ep=m.g.h

Donde:

  • m = masa del cuerpo
  • g = energía gravitacional
  • h = altura

Teorema de Torricelli

Una vez que llega hasta el nivel del orificio, se dice que la energía potencial pasa a ser nula, teniendo que aplicar una nueva fórmula:

Ec=12.m. v2

Y al conservarse la energía, entonces se tiene que Ep = Ec, e igualando ambas fórmulas, es que se obtiene la fórmula de Torricelli:

Vr=2.g.h

Posteriormente, se debe calcular la velocidad con que fluye el líquido a través del orificio. Para esto, se plantea la aplicación de la ecuación de Bernoulli, para poder realizar una comparación entre el cuerpo que cae y fluido que sale por un agujero:

V2p2+P+pgz=constante

Esta fórmula representa la suma de todas las energías donde:

  • El primer término hace referencia a la energía cinética.
  • El segundo término hace referencia a la energía de presión.
  • El tercer término hace referencia a la energía potencial gravitacional.

Para que sea válido, debe tomarse en cuenta que el fluido debe ser ideal, cumpliendo con las características de ausencia de viscosidad y rozamiento.

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