teorema de valor medio en qué consiste

Teorema de valor medio

El teorema de valor medio, también conocido como teorema de valor medio de Lagrange, es una función que proporciona un marco formal para una declaración bastante intuitiva. En el cual, se relaciona el cambio en una función, con el comportamiento de su derivada. El teorema establece que la derivada de una función que es continua y diferenciable, debe alcanzar una tasa de cambio promedio de la función. Esto en un intervalo dado.

Un ejemplo que se puede sustraer del enunciado del teorema de Lagrange es que, si un automóvil viaja a 100 millas en un trazo de 2 horas, entonces debería haber tenido una velocidad exacta de 5mph en algún momento del trayecto. Siendo una visión proyectada de cómo trabaja la función en el caso de alcanzar una tasa de cambio promedio, que en este caso son las 100 millas.

Un teorema en el cálculo diferencial establece que si una función de una variable es continua con un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalos menos sus puntos finales, hay al menos un punto donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la línea que uno los puntos finales de la curva que representan la función en el intervalo.

En caso de ser una función de variable continua, en un intervalo cerrado, que sea diferenciable en los intervalos menos sus puntos finales, existirá al menos un punto en el intervalo donde el producto del valor de la función y la longitud del intervalo será igual a la integral de la función durante todo el intervalo.

teorema de valor medio

A continuación, desglosaremos en detalle cada una de las características de este teorema al que se le puede aplicar muchos ejemplos en la vida real. Si deseas saber más, ¡acompáñanos hasta el final del artículo!

¿Qué es el Teorema del valor medio?

Cuando hablamos de matemáticas, el teorema del valor medio establece un enunciado que dice: ‘para un arco plano dado entre dos puntos finales, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante a través de sus puntos finales’. El teorema se emplea para probar declaraciones sobre una función que s encuentra en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre las derivadas en puntos de intervalos.

Esto se nota mejor, cuando F es una función continua en el intervalo cerrado, que ser [a,b] y diferenciable en el intervalo cerrado (a,b), entonces existe un punto en C donde es paralela a la función. Este teorema es uno de los más utilizados a nivel de matemática y algebra, siendo empleado para obtener un análisis real.

La primera vez que se sabe que se usó el teorema de valor medio fue en el año 1900, en el sentido definido. Siendo más específico en el sentido1. Por siempre que parezca, el teorema realmente se encuentra en la prueba del teorema fundamental del cálculo. Ya que se basa en sí mismo en última instancia en las propiedades de los números reales. De hecho, existe una ligera generalización conocida como teorema de valor medio de Cauchy, que se usa para la generalización a derivados más altos.

Historia del Teorema de Valor medio

La primera vez que fue mencionado este teorema fue por Parameshvrara, un matemático perteneciente a la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, en la India. Fue destacado en los comentario de grandes exponentes del algebra como Bhaskara II y Govindasvami.

Sin embargo, no fue probada de forma restringida hasta 1691, donde Michel Rolle aplicó su teorema que luego se convertiría en otro conocido que se conectan. Se probó solo para polinomios y sin las técnicas de cálculo tradicionales. El valor medio en su forma moderna, fue probado por Augustin Louis Cauchy en 1823.

Enunciado del teorema de valor medio

Cuando nos referimos al teorema de valor medio, se hace referencia al siguiente enunciado:

“El teorema del valor medio establece que si una función es continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que f'(c) es igual a la razón de cambio promedio de la función en [a,b]. En otras palabras, la tangente de la gráfica en algún punto es paralela a la recta secante que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b)).”

El teorema de valor medio es un resultado que importa en el ámbito de las matemáticas. Gracias a su aplicación, se puede conseguir información importante de la función a partir de una función derivada. De hecho, otro teorema importante, como lo es el caso del de Rolle, se utiliza para probar esta función.

Aunque en sí, el teorema de rolle no es muy usado en el campo, ya que han surgido otros que lo han remplazado para obtener resultados más precisos, sí es muy bueno para darle empuje al resultado del teorema de valor medio.

teorema de valor medio gráfico

Prueba del teorema de valor medio

Este cálculo matemático se entiende mejor cuando se está estudiando un caso restringido, que no es más que el teorema de Rolle que mencionamos anteriormente. En el caso del teorema de rolle, establece lo siguiente:

“En una función F, que es continua en [a,b] es decir, cerrada, diferenciable de una abieta que es (a,b), y que F (a) = F (b), entonces habrá un número tal que <c<b y f ‘(c) = 0 F’(C)=0”

Lo que quiere decir esto, es que si una función tiene el mismo valor en dos puntos distintos, entonces debería nivelarse en algún punto entre estos dos puntos. Al considerarse si la función aumenta o disminuye respectivamente, una vez que avanza desde el primer punto, queda claro que ninguna de las opciones puede continuar indefinidamente si la función debe volver al mismo valor. Por lo tanto, debe haber un máximo o mínimo local antes que ocurra el siguiente punto.

Ahí es cuando el Teorema de Rolle se convierte rápidamente en el teorema de valor medio simplemente sesgando la gráfica de la función. Por eso es que se dice que el de rolle sirve bastante bien para comprobar el enunciado del de valor medio.

Aplicación del Teorema de valor medio

El teorema se puede aplicar fácilmente en ejemplos de la vida real como el siguiente:

Usando el tiempo que le llevó viajar una milla, se puede calcular la velocidad promedio que tomó en el trayecto. Sabiendo que velocidad promedio = distancia total /tiempo total, entonces la velocidad promedio se puede calcular haciendo:

Velocidad promedio = (1 milla / 52.91 segundos) x (3600 segundos / 1 hora) = 68.04 mph

El valor original se dio en millas por segundo, por lo que se tuvo que multiplicar por 3600 / 1 hora para obtenerlo en millas original.

Ejemplos del Teorema en la vida real

Enunciado:

Un camionero viaja a 163 millas en una carretera de peaje con un límite de velocidad de 70 millas por hora. El camionero completa el viaje de 163 millas en 2 horas. Al final de la carretera de peaje, el camionero recibe una multa por exceso de velocidad. ¿Por qué sucede esto?

Bien, para resolver este problema se puede emplear el término de valor medio. Dado que la posición del camión es continua en el intervalo cerrado, diferenciable en el intervalo abierto, no hubo una discontinuidad en el gráfico de posición. Que es el camión que pasó por cada punto en el camino de la cabina de peaje a la cabina del otro peaje.

Sin haber agujeros de gusanos ni agujeros negros. También hay una cúspide en el gráfico de posición que no sería divertido viajando a 70 millas por hora. Aplicando el término de valor medio, se establece que en un punto de la velocidad promedio del caminero.  Que debe ser igual a la velocidad instantánea del camión. El resultado quedaría de la siguiente manera:

Velocidad promedio = distancia total (desplazamiento) / tiempo total

163 millas / 2 horas = 81.5 mph

Luego, al menos una vez en el tiempo en la carretera de peaje, el camionero iba a 81.5 millas por hora, muy por encima del límite de velocidad. Así es como se puede aplicar el valor medio para conseguir que multen a un camionero.

teorema de valor medio explicación

¿Qué significa esta aplicación?

Como todo error, es posible que haya un error en el experimento. Pero las fuentes de estos errores podrían ser el error humano en el tiempo, los marcadores de milla que no se colocan exactamente a una milla o la aguja del velocímetro que no se ajusta exactamente a 70 mph. Pero, con los datos dados, no hay duda que se puede decir cuál era la velocidad media.

También, el valor medio se puede emplear para probar la precisión del velocímetro. Configurando el control del crucero del automóvil a 70 mph, y calculando el tiempo que lleva viajar una milla. Entonces, esta información podría usarse para probar la precisión del velocímetro y descubrir si hay un error.

Conclusión del teorema

Este es un teorema de resultados fuertes, que puede emplearse tanto para medir una pendiente. También para probar la velocidad media en la que tarda un automóvil en alcanzar una milla o 2. De esta forma, probando que cuando habrá al menos un punto del intervalo donde este alcanzara el valor medio.

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