Teorema del binomio

Teorema del binomio

El álgebra es una rama de la matemática a través de la cual se pueden representar operaciones aritméticas utilizando números, letras y signos, y utilizando determinadas leyes y reglas para poder dar solución a cada una, según el respectivo caso. Una de las estructuras que comúnmente se estudian con el álgebra, son los binomios.

Este término dentro de la matemática, hace referencia a una expresión algebraica que tiene una estructura compuesta por dos términos o monomios. Cada uno de estos se encuentran identificados como los valores ubicados entre una sumo o una resta. Además, se construyen de distintas maneras: puede contener una variable y una constante, o también puede componerse de dos variables.

Teorema del binomio

El teorema del binomio es una de las reglas que se pueden aplicar para resolver este tipo de operaciones. Es conocido también bajo el nombre del binomio de Newton, y se define como una ecuación a través de la cual se resuelve una expresión de la forma (a+b)n, donde n va a ser igual a cualquier número natural. Otra de las maneras de aplicar este teorema, permite conocer el coeficiente para un término bajo la forma akbn-k. Este postulado siempre ha sido atribuido al científico Isaac Newton, aunque existe evidencia que en torno al año 1000, en las civilizaciones del Medio Oriente, ya se aplicaba.

¿Qué son números combinatorios?

Para conocer la teoría del teorema del binomio, primeramente se deben conocer ciertos términos relacionados a este. Uno de los más importantes son los números combinatorios, conocidos como coeficiente binómico. Se establece que hace referencia al estudio de combinaciones de números, tomando en cuenta el número de formas que se generan para un subconjunto que se extrae de otro conjunto. Es posible calcular el valor de estos si se enlista y se hace un conteo de los mismos. Los números combinatorios se expresan de la siguiente manera:

nk

Se dice entonces que, K representa la cantidad  de elementos que se pueden elegir a partir de un conjunto de n elementos. La fórmula algebraica de este enunciado se escribe:

nk=n!k!n-k!

Teorema del binomio

Propiedades de los números combinatorios

Para los números combinatorios, se pueden cumplir las siguientes propiedades:

  • Identidad simétrica: al tener un subconjunto, se puede determinar de manera inmediata su complemento. Se afirma entonces que a cantidad de subconjuntos con k elementos va a ser igual a la cantidad de subconjuntos con n-k elementos.
  • La suma de dos números combinatorios con una forma de números superiores iguales e inferiores también, son consecutivos.
  • Un elemento n sobre 0 será siempre igual a 1.
  • Todo elemento n sobre sí mismo es igual a 1.
  • Un elemento n sobre 1 es igual a n.

Teorema del binomio

¿Qué es el teorema del binomio?

Se dice que el teorema del binomio, mejor conocido como binomio de Newton gracias a los aportes del científico del mismo nombre, es un postulado matemático que parte de una fórmula de tipo (x+y)n, expandiéndola en una suma comprendida por términos de la forma axbyc, siendo b y c números naturales, mientras que el coeficiente de  cada término es un número entero positivo dependiente de n y b.

De manera algebraica, este postulado se expresa de la siguiente manera:

(a+b)n=k=0nnkan-kbk

Donde a y b son números reales, mientras que n es un número natural. Al multiplicarse de manera sucesiva el binomio, entonces se generan potencias:

Teorema del binomio

Según lo establecido en el enunciado, se da a lugar las siguientes afirmaciones:

  • Al desglosar la forma (a+b)n, se tiene n+1 términos.
  • El valor de n en la potencia a irá disminuyendo en cada término hasta llegar a cero, mientras que en el caso de b, el proceso será a la inversa, comenzando en cero y aumentando n en cada término.
  • Al sumar los exponentes de a y b, esto será igual a n.
  • El valor del coeficiente del primer término será igual a 1, mientras que en el segundo, el valor será n.
  • Se determina que el coeficiente de un término es igual al producto del coeficiente del término anterior al ser multiplicado por el exponente de a, siendo dividido entre el número del orden que ocupa.
  • El valor de los términos ubicados en los extremos de la expresión matemática poseen coeficientes iguales.

Historia del teorema del binomio

A lo largo de la historia, se le ha atribuido a Isaac Newton la idea del teorema del binomio, por lo que fue bautizado con su nombre, siendo popularmente conocido como el binomio de Newton. Sin embargo, el descubrimiento no viene de genialidad de este científico reconocido. Fue Al-Karjí quien aproximadamente durante el año 1000 dio inicio al desarrollo del postulado. Pero para el momento, solo se basaba en algo teórico, aunque si tenía gran validez.

Newton utilizó estas bases para desarrollar ampliamente el teorema, por lo que decidió aplicar los métodos de interpolación y extrapolación de John Wallis. Realizando ensayos en casos específicos, y usando conceptos de exponentes, logró transformar una expresión polinómica en una serie infinita.

Para 1665 amplio la teoría del postulado, alegando que n podía ser un número racional, y el siguiente año determinando que este exponente podía ser un número negativo. El resultado de aplicar este ensayo, dio a lugar una serie infinita de términos. En el último caso, decidió aplicar el triángulo de Pascal para resolver el problema con exponentes negativos.

Teorema del binomio

Isaac Newton pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la seria no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una serie infinita. Cuando la forma (x+y) se representaba bajo el binomio (1+x), el resultado sería válido siempre que el valor de x se ubicara entre 1 y -1. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener coeficientes binomiales para fracciones.

Tras realizar estas investigaciones, Newton estableció una relación entre las series infinitas y expresiones polinómicas finitas, deduciendo que en ambas se podía operar del mismo modo. Sin embargo, para el momento él no expresó ningún interés en publicar su investigación. Fue John Wallis quien mostró al público el teorema, declarando que era una contribución de Newton. Aun así, mucho tiempo antes de que se realizaran estos aportes, Euclides en el año 300 a.C. hace referencia al teorema del binomio para n=2 dentro de su ensayo Elementos. Y Stifel fue quien presentó por primera vez el término coeficiente binomial.

El triángulo de Pascal

Utilizando el triángulo de Pascal, se puede emplear el teorema del binomio. Esto se define como la representación de coeficientes binomiales en forma de triángulo. Si se trabaja con tres dimensiones, se dice que se trata de una pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal. Pasa su construcción se inicia con el número 1 en la punta del triángulo, el cual estará compuestos por nodos que se ubican en filas; la primera será enumerada 0.

Cada nodo de este árbol estará compuesto por un número del triángulo. Al sumarse dos  de estos, dará a lugar al número que ocupara otro nodo en la fila de abajo. La fila 0 y la fila 1 siempre estarán compuestas solo por unos, y a partir de la dos, serán la suma de dos términos de la fila anterior.

Teorema del binomio

La idea de diseñar este método fue desarrollar las potencias de binomios. Es aquí donde nace la vinculación del triángulo de Pascal con el teorema del binomio, ya que este último se expresa con la forma (a+b)n, siendo a y b cualquier variable, y n un exponente con valor de un número natural. Es a través de esta fórmula que se puede desarrollar los coeficientes de los nodos de cada fila del triángulo.

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