El teorema del residuo y el factor es una operación matemática donde intervienen los polinomios con la finalidad de encontrar un resultado residual. El objetivo del teorema es explicar las nociones básicas inherentes a la operación de un binomio dividido entre un polinomio.
El resultado final nos dice si el polinomio si existe un residuo o simplemente es nulo. Sin embargo, involucra más procesos y conceptos que, para los que no están relacionados con las matemáticas, puede resultar difícil de entender. Incluso si son de los más básicos.
Con la finalidad de comprender qué es el teorema del factor y del residuo, hemos decidido crear este artículo. Explicaremos la operación de la forma más sencilla posible, con el objetivo de que incluso los niños entiendan. Asimismo, usaremos ejemplos para enriquecer la información.
Tabla de contenidos
¿Qué es el teorema del factor y el residuo?
Cuando hablamos de teorema, al menos en matemáticas, nos referimos a preposiciones aceptadas y demostradas que realmente funcionan.
Partiendo desde ese punto, definimos al teorema del factor y el residuo como una ecuación que involucra un polinomio expresado como P(x) que se divide entre en binomio, expresado en un número real (x – a), y el resultado es un residuo que es f(a).
Matemáticamente, este teorema que forma parte del área del algebra con variables como: polinomios, binomios, factores, residuos y divisiones de polinomio. La finalidad de la operación es conocer cuál es el residuo, de haberlo o de formar parte de la operación. Sin tener que efectuar la división.
¿Cuáles son los elementos que influyen en el teorema del factor y el residuo?
Para entender el teorema, primero hay que indagar en elementos que orientan la explicación del problema. Y estos son:
Polinomios
Un polinomio es una expresión matemática combinada por variables constantes que se resuelven a través de la resta, suma y la multiplicación. Los polinomios son viejos conocidos de la ciencia, ya que juegan un papel fundamental en el estudio y solución de casos algebraicos. Y no solo en la matemática, también en la física y la química.
Las operaciones realizadas con un polinomio suelen ser con otro polinomio, como sucede con la multiplicación. Sin embargo, en el caso de la suma y la resta, se puede efectuar una operación con monomios y binomios con la finalidad de reducir los resultados. También posee algunas características limitativas, ya que no son infinitos. Las cantidades de números para efectuar son finitos, por lo que nunca siempre se sabrá el resultado.
Factor
El factor, en palabras sencillas, es un número divisor que se enfrenta a otro número. En el contexto del teorema, es el polinomio que se divide con el binomio para obtener un resultado en concreto. Puede presentarse en cantidades, también en letras, que luego se utilizan en una operación de multiplicación para crear un nuevo producto.
Residuo
La división es una excelente técnica para agrupar números o propiedades iguales que pertenecen a una misma rama, simplificándolos en el proceso. Pero, ¿qué sucede cuando hay un número que no se puede agrupar o no pertenece a los elementos divisibles de una operación? Dicho número o propiedad para alcanzar a la unidad, es conocido como residuo, o resto.
Para entender lo expresado anteriormente, es mejor probar con un ejemplo. Para eso tomaremos al número 19. Este número no tiene propiedades divisibles, siendo el 5 el más cercano. Al dividir 19 entre 5 obtenemos un resultado, que es 3. Luego se multiplica por el 5, obteniendo a 15 como resultado. El faltante para llegar a 19, que es 4, es considerado como el faltante, o el residuo.
En el contexto del teorema del factor y el residuo, lo que se busca es la parte que no puede ser divisible en la operación, o el faltante.
División de polinomios
Finalmente tenemos a la división de polinomios; una operación que se realiza en algebra con la finalidad de encontrar al residuo. Dicha operación permite dividir al polinomio, usualmente complejo, con un binomio para reducir los resultados. Siempre y cuando el binomio, u otro polinomio, no sean nulos.
Explicación del teorema del factor y el residuo
Antes de empezar con la explicación, primero conozcamos el enunciado del teorema del factor y el residuo, diciendo lo siguiente: “Si un polinomio de x, expresado como f(x), se divide entre un número real, expresado como (x – a), se dice que el que el residuo es f(a).”
El significado de este enunciado es que, para encontrar el residuo, hay que realizar una operación con polinomios. Valorando que x es un valor igual a, y a es un valor que es idéntico a x.
De esta forma se obtiene el residuo sin tener que hacer una división, como se mostró en la explicación anterior. Logrando fácilmente a través de la deducción del factor y el contenido de una función real.
Ejemplos del teorema del factor y el residuo
Para profundizar en el tema, te mostraremos algunos ejemplos resueltos enfocados en la demostración matemática de la preposición supuesta en el artículo. Veamos de qué trata.
Ejemplo 1
Consideraremos que el polinomio de este ejemplo es una función expresada como f(x) = x²– 8 x + 6. El objetivo es encontrar el residuo y demostrar el teorema.
El primer paso a realizar es tomar el binomio (x-2) con la finalidad de identificar si existe un residuo dividiéndolo entre polinomio del enunciado. El resultado de esta operación sería –x2 – x2x = x-6 y luego simplificamos la operación hasta que quede de la siguiente forma: –6x + 6. Realizamos una vez otra simplificación, y queda como: –+6 –+12.
Siendo -6 el residuo de este ejemplo.
Ejemplo 2
Para este ejemplo tomaremos en consideración el siguiente polinomio: f(x) = x² + x – 2 y usaremos el teorema a ver si existe un residuo.
Lo primero que debemos hacer es tomar el binomio (x-2) y dividirlo entre el polinomio. El resultado luego de realizar la operación es la siguiente F (2) = 2² + (2) – 2 =4. Obteniendo como resultado el residuo de esta operación un número real, que es 4.
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