Teorema del residuo

El teorema del residuo es la consecuencia directa del Teorema Integral de Cuchy, siendo una parte muy importante dentro de la teoría matemática del análisis complejo.

Aplicación del teorema del residuo

Teorema del residuo para polinomios

La división de polinomios se encuentra entre una gran cantidad de operaciones algebraicas, y entre ellas podemos encontrarnos con la operación especifica de dividir un polinomio entre un binomio.

En este caso específico, cuando un polinomio se divide entre un binomio, por lo general se presenta un residuo.

En el teorema del residuo se establece que cuando un polinomio de x, f(x) se divide entre (x – a), en donde cualquier número a equivaler a cualquier número real o complejo, entones el residuo es f(a).

Esto quiere decir que para poder encontrar el residuo cuando el polinomio se divide entre un binomio el valor de x es igual al valor de a, o f(x) = f(a).

Así, se tiene que calcular el valor de x, el cual será igual que el valor de a.

Si consideramos el polinomio x² – 8 x + 6, el cual se puede identificar como una función polinomial f(x) = x² -8 x + 6.

Aquí se tiene que dividir el polinomio entre el binomio x – 2 para poder encontrar el residuo.

En este caso la división se puede realizar de la siguiente forma:

Método 1: División larga

método 1 division larga

Como podemos ver en la operación, el residuo resultante es -6.

Método 2: División sintética

método 2 división sinética

De la misma forma, el residuo es -6.

Método 3: Uso del teorema del residuo

f ( x ) = x² – 8 x + 6 dividido entre x – 2,

En este caso, para poder calcular el valor de x, hacemos x – 2  = 0

x = 2

Gracias al teorema podemos saber que x = a, y así podemos reemplazarlo en el polinomio al dividir:

2 ² – 8 (2) + 6 y se tiene que resolver 4 – 16 + 6 = -6

Como vemos en este tercer método, el residuo obtenido también es de -6, el mismo que obtuvimos con los dos métodos anteriores al dividir un polinomio entre un binomio.

Si quieres una explicación en vídeo aquí la puedes ver:

Ejemplo

Para poder entenderlo mejor es muy recomendable ver cómo se realizan ejemplo, por lo que aquí tienes este video que te puede ser de mucha utilidad para tener una imagen más completa:

Esperamos que hayas entendido todo sobre el teorema del residuo, ya que en realidad no es tan complicado de comprender, sobre todo con tanto material visual que te lo explique mejor.

 

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