Friedrich GaussFriedrich Gauss

Teorema Fundamental del Álgebra

Si estás interesado en tener toda la información sobre el teorema fundamental del álgebra para tener poder entenderlo sin complicaciones has llegado al lugar indicado, en este artículo repasaremos todo lo que te puede interesar saber sobre el teorema fundamental del álgebra.

Friedrich GaussFriedrich Gauss

¿Qué es el teorema fundamental del álgebra?

El teorema fundamental de álgebra, en álgebra superior, geometría, análisis matemático y en las funciones de variable compleja, es un teorema en el que se indica que todo polinomio que tenga un grado mayor a cero posee una raíz. Asimismo, el dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, siendo una extensión de los números reales.

De lo anterior se deriva que todo polinomio p(x) de una variable no constante debe tener la misma raíz real o compleja que el grado n que tenga, un resultado teórico que es clave para poder realizar el cálculo numérico.

Definiciones del teorema fundamental de álgebra

Cuando el polinomio de grano n (n>0) de la variable:

p(x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn.

Hay un número r en donde p(r)=0, lo que vendría siendo lo mismo, pero expresándose como una factorización, tal como la siguiente:

p(x)=(x-r)(b0+b1x+…+bn-1xn-1)

Importancia

Teniendo en cuenta la definición anterior, podemos ver que se desprender que cuando p(x) se puede expresar de la siguiente forma:

p(x)=(x-r1)(b0+b1x+…+bn-1xn-1)

Entonces el resultado del nuevo polinomio p1(x):

p1(x)=b0+b1x+…+bn-1xn-1

Con un grado n-1; el nuevo polinomio puede ser aplicado en el teorema para poder obtener una nueva raíz r2 de tal forma que p(x) se podría expresar de la siguiente manera:

p(x)=(x-r1)(x-r2)p2(x)

Por lo que se descompone de forma sucesiva los polinomios de menor grado que resultan de pi(x) (0<i<n), hasta que se tenga n para p(x), que se puede expresar por medio del producto de n binomios del primer grado (x-ri) en el conjunto de los complejos, justo como se puede ver a continuación:

p(x)=(x-r1)(x-r2)…(x-rn)

Es cierto que las raíces ri (0<i<n+1)  pueden ser tanto complejas como reales, y también que se puede dar el escenario ene l que las raíces sean iguales, como puede ser en las raíces de los polinomios cuadráticos con el trinomio cuadrado perfecto a2x2+2abx+b2 ó a2x2-2abx+b2.

De esta forma, entendemos que la asociación directa que existe entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces que tiene es muy importante dentro de las matemáticas como dentro de distintas ramas en las que se tiene que modelar con el comportamiento de fenómenos con polinomios.

Asimismo, también se señala que la paridad de las raíces complejas cuando: a + bi es una raíz compleja del polinomio p(x), con un coeficiente racional, entonces cuando tenemos a – bi también tenemos la raíz de p(x). Dicha propiedad no se cumple sólo cuando los coeficientes complejos a + bi, cuando a≠0 y b ≠ 0.

Lo anterior se puede ver cuando las ecuaciones de segundo grado ax2+bx+c=0, cuando se calcula el discriminante=b2-4ac<0, entonces solo se satisface con los complejos:

  • Importancia 1

Enunciado y equivalencias

En el teorema fundamental se señala que todo el polinomio de una variable con un grado n ≥ 1 con un coeficiente real o complejo debe tener al menos una raíz, ya sea real o compleja.

Así, debemos entender que el polinomio de una variable no constante y que tenga un coeficiente complejo, debe tener tantas raíces como lo señale su grado, pudiendo contar las raíces gracias a sus multiplicidades.

Es decir, gracias a que el polinomio complejo p(z) con un grado n ≥ 1, vemos que la ecuación p(z) = 0 tiene n soluciones complejas, teniendo presentes las multiplicidades.

Entre otras formas equivalentes del teorema podemos encontrar que el cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

Asimismo, todo el polinomio que tenga un grado n ≥ 1 debe de poder expresarse como un producto de n polinomios lineales, quedando de la siguiente forma:

enunciado y equivalencia

Historia

Para conocer la historia del teorema fundamental del álgebra tenemos que conocer la historia de Friedrich Gauss (1777 – 1855), matemático que forma parte de la historia gracias a sus aportaciones, siendo considerado como uno de los matemáticos más importantes de la historia.

Desde muy pequeño destacó en sus clases de matemáticas y a lo largo de toda su vida fue muy prolífico en todas las áreas que involucraban matemáticas. Su aporte más importante fue la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, en dónde estableció que “todo polinomio con coeficientes complejos con un grado > 0 tiene por lo menos una raíz en los complejos”, tal y como ya vimos anteriormente.

La demostración puede enunciar de otra forma distinta, por ejemplo, “todo polinomio de grado n > 0, con un coeficiente real o complejo tiene exactamente n raíces reales o complejas”. Es decir, las raíces no tienen por qué ser distintas.

Gauss no fue el primero que intento realizar la demostración de dicho teorema, ya que se sabe que desde el año 800 los matemáticos se esforzaron por poder generalizar la existencia de raíces reales positivas, comenzando con el matemático al-Khwarizmi, pasando por el matemático Cardano (1545) quien dio algunas pistas sobre los casos de ecuaciones polinómicas; Bombelli con sus aportaciones en su libro publicado en 1572 en donde estableció algunas reglas para poder manipular los números.

Después de los matemáticos antes mencionados siguieron Descartes (1673), D’Alambert (1746), Euler (1749), Larange (1772) y Laplace (1795), pero a Gauss es a quien se le dio el crédito por hacer la primera demostración completa, la cual presentó en el año 1799 en su tesis doctoral cuando tenía 22 años. En su trabajo también explicaba las objeciones de las pruebas anteriores realizadas por los matemáticos antes mencionados.

Sin embargo, en el año 1863, Weierstrauss abordo el problema para encontrarse con la prueba constructiva del Teorema Fundamental del Álgebra, siendo publicada en el año 1891. Después fue retomada por Hellmuth Kneser, consiguiendo la prueba en ese estilo en el año 1940. El último aporte a esta demostración lo hizo Marin Kneser, su hijo, en el año 1981, publicando la demostración constructiva que había realizado su papá.

Este teorema es sumamente importante debido a la gran cantidad de aplicaciones que tiene dentro del campo de las matemáticas, dando validez a distintos resultados que se derivan del teorema; sin olvidar la gran cantidad de matemáticos que trabajaron en él.

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