Teorema fundamental del cálculo integral

Las matemáticas son muy diversas y lo que siempre destacada de ellas es que son exactas. Es una de las cosas que se pueden aprender durante toda la preparación académica que se lleva durante años. Y que siempre nos va a demostrar que es posible seguir aprendiendo, pero para efectos generales se deben conocer las operaciones básicas.

De las matemáticas es que se derivan muchas otras ramas como es el cálculo integral que se puede definir como los procesos de integración y antiderivación. Este tipo de procesos son muy comunes en la ingeniería y matemática general. Utilizadas con el fin de poder obtener el área y volúmenes de sólidos de revolución y regiones.

Teorema fundamental del cálculo integral

El cálculo integral tiene muchos años de existencia, no ha sido algo nuevo. Las primeras ocasiones en las cuales este tipo de operaciones matemáticas fue utilizada se le atribuye a científicos como Arquímides, René Descartes, Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz. Del trabajo de Newton fue que se pudo llegar al resultado que en la actualidad se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral.

Una parte muy importante es que este teorema propone que la derivación e integración se trata de procesos totalmente inversos. Por ende podemos entender de que la integral definida de una función se refiere solamente al área limitada por la gráfica de la función. En este punto debe quedar claro que son con signos positivos cuando la función utiliza valores positivos y negativo cuando los valores son negativos.

Historia del teorema

Como se ha dicho en la introducción de este artículo, el teorema hace referencia a que la diferenciación e integración son dos operaciones inversas. Lo cual deja claro el tipo de operación que debemos de realizar. Sin embargo, para poder llegar hasta esta conclusión tuvieron que pasar por un largo camino, debido a que no existía el reconocimiento oficial de que se trataba de dos operaciones inversas.

La historia inició con los matemáticos griegos que tenían el conocimiento de poder calcular el área usando los infinitesimales, los cuales en la actualidad son conocidos como integración. No solo debemos remontar a esta civilización que fue una de las más avanzadas en ciencias, sino se deberá de ir hasta el siglo XIV, en el cual también ya se tenía un conocimiento sobre la continuidad y movimiento.

El Teorema fundamental del cálculo integral llegó hasta las mesas de trabajo de los calculadores de Oxford, siendo de los más destacados en descubrir que había detrás. Lo que destaca de este Teorema fundamental del cálculo integral es que las dos operaciones estaban estrechamente relacionadas. Con una se buscaba el cálculo de áreas geométricas y otro el cálculo de velocidades. Indiscutiblemente están relacionados.

James Gregory fue el primer matemático que realizó una declaración publicada y con una prueba del Teorema fundamental del cálculo integral. Posteriormente, fue Isaac Barrow quien dio una versión que propia algo más general y llegó hasta las manos de Isaac Newton, que para aquel entonces era su estudiante. Finalmente, fue Gottfried quien se encargó de la versión final y sistematizó el conocimiento del cálculo de las cantidades infinitesimales. Dejando lo que conocemos hasta la actualidad.

¿Que es el teorema fundamental del cálculo integral?

En esencia se define como el conjunto de reglas y procedimientos que se utilizan para hacer el cálculo de una integral y una antiderivada.  En este caso se usa un método que es abreviado para el calculo de las integrales definidas. Saltando así las sumas de Riemann que son usadas para el cálculo de los límites. No hay mucho más que agregar, además esto permite que se entienda de la forma más sencilla.

Demostración del teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo integral

A través de la imagen que se muestra en la parte superior se puede apreciar que el teorema fundamental del cálculo representa una parte fundamental de esta rama de la matemáticas. Mucho más para aquellas personas que se dedican a la ingeniería.

En la primera parte que se muestra en la imagen está establecido que si se define una función como la integral definida de otra f, por ende se va a entender de que la nueva función que se está definiendo es la antiderivada de f.

La segunda parte de este calculo indica que para que la integral definida de f se pueda calcular entre a y b, se necesita primero encontrar lo que es la antiderivada f. Esto quiere decir que la antiderivada se nombrará como F y esto va a ser necesario para calcular F(a) – F(b).

Regla de Barrow

Si f(x) se trata de una función Riemann-integrable dentro del intervalo [a, b] y para el caso F(x) cualquier función de f(x) en [a, b], esto va a indicar lo siguiente:

F'(x)=f(x) para todo x en [a, b], entonces:

Es uno de los puntos más importantes dentro del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, debido a que esto quiere decir que tiene una importancia doble. Debido a que es un método para calcular integrales definidas con solo obtener la función F'(x)=f(x). Está luego permite que se pueda calcular a través de los límites de integración, por lo que pueda representar una conexión directa entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Ejemplos del teorema fundamental del cálculo integral

Para poder entender un poco más a fondo lo que es el Teorema fundamental del cálculo integral se tienen que ver algunos ejemplos que son ideales.  Estos están totalmente resueltos y se pueden apreciar todos los fundamentos que he descrito en la parte superior.

Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral

Cuando se trata de poder leer una operación de este tipo se requiere de hacer el siguiente enunciado que es fundamental.

Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F ‘(x) = f(x).

No me queda duda de que suele ser un tema complicado para muchos, pero con la práctica esto se puede facilitar demasiado. Debemos entender que se tiene que entender claro el teorema para poder aplicarlo cuando se requiere.

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