Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio Fue formulado independientemente por Bolzano en 1817 y Cauchy en 1821. El teorema de Bolzano – Cauchy puede generalizarse a espacios topológicos más generales. Cada función continúa definida en un espacio topológico conectado que toma dos valores y toma cualquiera que se encuentre entre ellos.

Notación formal: deje que se dé un espacio y función topológicos conectados let y then

En esta formulación, el teorema es un caso especial de que la imagen de un conjunto conectado, bajo un mapeo continuo está conectado.

Prueba sobre el teorema del valor intermedio

Considere que la función es continua en un segmento y, mostramos que existe un punto que divide el segmento por un punto en dos segmentos de igual longitud, luego se encuentra el punto deseado o, al final de uno de los intervalos obtenidos, la función toma valores de diferentes signos (a la izquierda terminar menos que cero, a la derecha más).

Teorema del valor intermedio
Teorema del valor intermedio

Una vez marcado el segmento obtenido, lo dividimos nuevamente en dos segmentos iguales a lo largo de la longitud, etc. Luego, ya sea a través de un número finito de pasos, llegamos al punto deseado u obtenemos una secuencia de segmentos anidados a lo largo de la longitud que tiende a cero y tal que.

Sea el punto común de todos los segmentos (de acuerdo con el principio de cantor, existe y es único).

Las consecuencias del teorema

  • (el teorema sobre el cero de una función continua.) Si la función es continua en algún segmento y en los extremos de este segmento toma valores de signos opuestos, entonces hay un punto en el que es igual a cero.
  • En particular, cualquier polinomio de grado impar tiene al menos un cero.
  • A veces (en los cursos de capacitación) la fórmula para cero se llama primer teorema de Bolzano – Cauchy, y la fórmula general se llama segundo teorema, respectivamente. De hecho, son equivalentes.

 

El teorema del valor intermedio en funciones continuas

El teorema (bolzano-cauchy). Si la función f es continua en el intervalo [ a , b ], f ( a ) =  a y f ( b ) =  b , entonces para cada uno de c , hecho entre a y b , existe un punto     [ un , b ], que

F (  ) =  c

Una función que es continua en un intervalo finito o infinito, tomando dos valores , toma todos los intermedios .

Para mayor precisión, dejemos que f ( a ) =  a  <  b  =  f ( b ) y, por lo tanto, a  <  c  <  b . Dividimos el segmento [ a , b ] en dos segmentos iguales por el punto ( a  +  b ) / 2. Si f(( a  +  b ) / 2) =  c , entonces se   encuentra el punto (ver (7.8)):  = ( a  +  b ) / 2. Si f (( un  +  b ) / 2)    c , ya sea f (( un  +  b ) / 2) <  c , o  f (( un  +  b ) / 2)>  c . En el primer caso, elija el segmento [( a  +  b ) / 2, b ], y en el segundo, el segmento [ a , ( a  +  b) / 2]; el segmento seleccionado se denota por [ a 1 , b 1 ]. Obviamente, f ( a 1 ) <  c  <  f ( b 1 ) y b 1  –  a 1  = ( b  –  a ) / 2. Divida el segmento [ a 1 , b 1 ] por su punto medio ( a 1  +  b 1 ) / 2 en dos segmentos iguales.     Si f (( a 1  +  b 1 ) / 2) =

C , entonces  = ( a 1  +  b 1 ) / 2. Si f (( a 1  +  b 1 ) / 2)     c , entonces elegimos de los segmentos resultantes el que está en el extremo izquierdo cuyo valor de la función es menor que c , y en el derecho – más que c , etc. Luego, a través de un número finito de pasos obtenemos un punto medio de   algún segmento tal que f (  ) =  c , entonces se prueba el teorema, o un sistema de segmentos incrustados [ a n , b n ] tal que

F ( a n ) < c < f ( b n ),   n = 1, 2, B n – a n   = ( b – a ) / 2 n  0 para n    /Sea   un punto común que pertenezca a todos los segmentos [ a n , b n ]; entonces a n =  b n = Y por lo tanto, debido a la continuidad de la función f:  f ( a n ) =   f ( b n ) =  f ( ).

Pero en virtud de   f ( a n ) <   c <   f ( b n ).

A partir de (7.11) y (7.12) que la  f (  ) <   c <   f (  ), m. E. Eso f (  ) = c .

En consecuencia, si la función es continua en el intervalo y en los extremos toma valores de las diferentes señales, a continuación, en este intervalo hay al menos un punto.

La fórmula arriba descrita deduce del hecho de que, tomando cualquier valor en dos puntos de un cierto intervalo, una función continua en él, de acuerdo con el teorema 2, toma todos los valores intermedios en un segmento con extremos en estos puntos. Y este segmento, obviamente, está contenido en el período considerado.

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