Cuando hablamos de Algebra, el Teorema del factor es una aplicación que vincula factores y ceros de un polinomio en específico. Es un caso especial que se utiliza para resolver el teorema del resto, por lo tanto, cuando se mencionan, deben ir juntos. El teorema establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x – k) si y solo si f (k) = 0. O lo que también se podría entender que k es una raíz.
El teorema del factor nos ayuda a analizar las ecuaciones polinómicas. No dice cómo los ceros de un polinomio están relacionados con los factores. Por ejemplo, el caso de un polinomio de grado n en el sistema de números complejos tendrá n ceros. Se puede emplear el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de n factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, entonces sí se puede determinar fácilmente los ceros del polinomio.
Por otro lado, tenemos al teorema del resto, que es bastante útil para evaluar polinomios a un valor dado de x. Aunque pueda que no lo parezca, al menos a primera vista, en realidad si se utiliza para eso. Esto se debe a que la herramienta se presenta como un teorema con una prueba, y probablemente no se sienta bien preparado para las pruebas en estadas etapas de los estudios de algebra. Para ello, no tienes que entender cómo funciona la prueba del teorema, solo se necesita entender cómo se usa el teorema.
A continuación, desglosaremos en detalle cada una de las características más importante del teorema del factor, y también repasaremos el teorema del resto, que son dos funciones que se complementan una a la otra. Si quieres saber más sobre teoremas, no dude en quedarse hasta el final del artículo.
Tabla de contenidos
Factorización de polinomios y teorema del factor
Existen dos campos donde se puede aplicar el teorema del factor para la factorización de polinomios, de modo que se encuentre las raíces de una ecuación de índole polinómica. Esto se describe como una consecuencia directa de que los problemas sean esencialmente equivalentes.
El teorema del factor también se puede emplear para eliminar los ceros conocidos de un polinomio. Dejando intactos todos los ceros no conocidos, produciendo un polinomio menor cuyos grados ceros son más fáciles de encontrar en la ecuación. El método para factorizar los ceros sería el siguiente a través del teorema:
- Adivinar un cero a del polinomio f. Esto suele ser muy difícil de hacer, ya que los problemas de los libros de ecuaciones y problemas matemáticos, que implican resolver una ecuación de índole matemática, a menudo no se centran en enseñar algunas raíces fáciles de descubrir. Por lo tanto, se recomienda seguir una educación más avanzada para que cuando se aplique el teorema del factor, resulte más fácil de hacer.
- Usar el teorema para concluir que (x – a) es un factor que pertene a f(x)
- Calcular el polinomio g(x) f(x) / (x-a). Esto se puede ver en un ejemplo en el que se utiliza la división larga polinómica o la división sintética.
- Al final, se puede concluir que cualquier raíz en la que x es diferente a, perteneciente a f(z)= 0 es una raíz de g(x). Viéndolo desde el grado polinómico de g, es uno menos que el de f, siendo ‘más simple’ en cuestión para encontrar los ceros restante. Esto, claro si se estudia g adecuadamente.
Explicación del teorema del factor
Como se señala en el caso del teorema del resto, si se divide un polinomio que es p(x) por un factor x-a de ese polinomio, lo que se obtendrá es un resto cero. La expresión de Algoritmo de división del polinomio sería la siguiente:
P (x) = ( x – a) q (x) + r (x)
Donde si x – a es de hecho un factor de p (x), entonces el resto después de la división por x – a será cero. Es decir: p (x) = ( x – a). En términos del teorema del resto, esto lo que significa es que x – a es un factor de p (x), entonces el resto, cuando hacemos división sintética por x=a, que será cero.
El punto de todo lo anteriormente tratado es que el teorema del factor es el reverso del teorema del resto. Si divide sintéticamente un polinomio x = a y obtiene un resto cero, entonces no solo es x = a un cero del polinomio. Esto se sabe gracias al teorema del resto. Pero x – a también es un factor del polinomio, que se obtiene gracias al teorema del factor. Como se puede notar ambos teoremas son bastante similares, en el que uno es el reverso del otro y se puede apreciar fácilmente en la práctica.
El punto principal del teorema del factor es no hacer la división larga de un polinimoio dado por un factor dado. Tal como sucede con el teorema del resto que tiene la misma función. Este teorema en sí no busca repetir lo que ya sabes, sino que está tratando de simplificar la vida de las personas. Una ventaja que muy pocos no saben. En caso de que esté intentando resolver un ejercicio del teorema del factor, debe aplicar división sintética y luego comprobar si hay un resto cero.
Teorema del factor en la práctica
En la práctica, el teorema del factor se usa al factorizar polinomios ‘completamente. En lugar, claro está, de probar varios factores mediante el uso de la división larga. Donde tendrá que utilizar la división sintética y el teorema completo. Cada vez que se divide por un número, que es una raíz potencial del polinomio, se obtiene un resto cero en la división sintética.
Lo anterior hace alusión a que el número es de hecho una raíz y, por lo tanto, ‘x menos el numero’ es un factor. Luego continuará la división con el polinomio más pequeño que resultó, hasta continuar para llegar a un factor lineal. Para que haya encontrado todos los factores, o un cuadrático, que se llega aplicando la formula cuadrática.
Teorema del resto
Como hemos venido diciendo, el teorema del factor es el inverso del resto, ya que a muchos les encanta encontrar un atajo. Sucede en la vida real cuando tiene una dirección, o en alguna tarea larga. En el caso de resolver una división. El teorema del resto ayuda a encontrar la forma más rápida y eficiente de llegar al mismo punto final, ahorrando un gran tiempo y esfuerzo. Las matemáticas se encuentran llena de estos tipos de atajo, y eso se puede comprobar fácilmente cuando se comprar el teorema del resto y el del factor.
El teorema del resto establece que cuando un polinomio, f(x), se divide por polinomio lineal, x-a, el resto de dicha división tiene que ser equivalente a f (a). Lo que se puede traducir que si evalúa la función f (x) para un número dado, en este caso ‘a’, puede dividir esa función entre x-a y el resto seguirá siendo igual a f (a).
Vale la pena acotar que el teorema del resto solo funciona cuando una función se divide por un polinomio lineal, la cual tiene la forma x + numero o si se presenta como x – número.
Función del teorema
El teorema del resto es especialmente útil cuando se combina con la división sintética. La división sintética, por su parte, es un método alternativo que se emplea para dividir rápidamente los polinomios en lugar de ir por la división larga que genera muchos dolores de cabeza. Además, recuerde que en la división sintética, el número en la fila anterior de la fila anterior de la última columna de la derecha es el resto. Por tanto, en lugar de que deba insertar un valor, y usar el orden de las operaciones, puede optar por usar la división sintética como una forma alternativa y sencilla para evaluar el polinomio para un valor dado.
Aunado a lo anterior, la división sintética y el teorema del resto se pueden usar para determinar si un valor es un cero en el caso de una función. Afortunadamente, debes recordar que un cero de una función, por definición propia, es cualquier punto c, donde f ( c) = 0. Es decir, si encuentra un resto de cero después de realizar la división sintética, el número indicado al frente, denominado a en la definición, se evalúa a cero o f ( a ) = 0
Por último, tenga en cuenta que puede usar la división larga en lugar de la sintética, pero casi siempre es más rápido y fácil de usar esta última nombrada.
Conclusión del teorema del factor
La idea principal del teorema es que ayudará a las persona a encontrar una forma de factorizar P(x) una vez que se logre encontrar el valor que lo anule. Este teorema puede ser empleado también para encontrar la descomposición factorial de un polinomio mediante el uso de la división sintética. La cual explica que si se tiene un polinomio definido en el conjunto de los reales, o también uno más grande como el de los complejos, x-a es factor de ese polinomio P(X).