teorema de Morgan

Teorema de Morgan

La lógica se considera como una rama de la matemática, la cual se enfoca en la aplicación de reglas y métodos para estudiar el razonamiento. A nivel científico, es de gran utilidad para la comprobación de la validez de ciertos teoremas, como el Teorema de Morgan. Pero es esencial dentro de la vida cotidiana. La lógica brinda las herramientas para distinguir la realidad. En base a esto, es que se pueden ofrecer argumentos válidos y con solidez.

A su vez, de esta parte la lógica proposicional, estableciendo el estudio de proposiciones, evaluando su veracidad, comenzando por las sentencias más simples hasta las más complejas. Y se encuentran relacionadas a través de conectivos proposicionales. De aquí parte el término de operadores lógicos, que permiten unir proposiciones simples para formar proposiciones complejas.

Esta misma base sirve para conocer a fondo el álgebra de Boole. Es una teoría de gran utilidad en el área de electrónica e informática. Este método es una herramienta esencial para la simplificación de circuitos lógicos en electrónica digital. Pero para facilitar su aplicación, se trabaja a través de ciertas reglas y teoremas. Entre estos, destacan las leyes de Morgan o teorema de Morgan.

teorema de Morgan

Este teorema es considerado como uno de los más esenciales dentro de la electrónica digital. Según su enunciado, se establece que es posible transformas el operador de disyunción a conjunción y viceversa. El teorema de Morgan se encuentra catalogado dentro de las reglas de inferencia.

¿Qué es el teorema de Morgan?

Las leyes o teorema de Morgan son herramientas esenciales tanto en la lógica proposicional como en el álgebra de Boole. De manera general, se define como la equivalencia que existe entre dos proposiciones lógicamente equivalentes. Su aplicación permite simplificar expresiones booleanas, así como cambiar el operador de conjunción al operador de disyunción y de manera contraria.

De manera más expensa, se explica que es posible realizar este cambio de operador aunque las conjunciones y disyunciones sean afirmativas o negativas, ya sea que se trate de las proposiciones completas o en alguna de sus partes. Esto también ha sido definido como la conversión entre compuertas AND y OR, a través de la aplicación de operaciones de puertas básicas. Este enunciado engloba las reglas de inferencia básica pertenecientes a la lógica proposicional, asegurando que es posible expresar conjunciones y disyunciones utilizando término de negación.

Las dos leyes del teorema de Morgan

Las leyes o teorema de Morgan se encuentran explicados bajo dos leyes. De manera general estas se encuentran explicadas de la siguiente manera:

  • La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
  • La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

teorema de Morgan

Pero estos dos enunciados pueden ser expresados de manera informal, teniendo que:

  • “no (A y B)” es equivalente o igual que “(no A) o (no B)”.
  • “no (A o B)” es equivalente o igual que “(no A) y (no B)”.

Cuando estas definiciones se buscan expresar en lenguaje formal o matemático, es necesario conocer cierta terminología enfocada en símbolos:

  • ¬ es el operador de negación, haciendo referencia a No.
  • ˄ es el operador de conjunción, haciendo referencia a Y.
  • ˅ es el operador de disyunción, haciendo referencia a O.
  • ⇔ considerado como un equivalente a “puede ser reemplazado”.

Al conocer estos términos, a partir de la lógica proposicional, se establecen las siguientes fórmulas para las Leyes de Morgan, teniendo que P y Q son proposiciones:

  • ¬ (P ˄ Q) <=> (¬P) ˅ (¬Q)
  • ¬ (P ˅ Q) <=> (¬P) ˄ (¬Q)

Una vez entendida toda la terminología que engloba este teorema, se puede describir de manera más específica cada una de las reglas que lo componen. En el caso de la primera ley de Morgan: El complemento de un producto de “n” variables será equivalente a la suma de los complementos de “n” variables. Igualmente, utilizando otras palabras, se dice que el complemento de dos o más variables sobre las cuales se aplica el operador AND es equivalente a aplicar el operador OR.

En cuanto a la segunda ley de Morgan: El complemento de una suma de “n” variables será equivalente al producto de los complementos de “n” variables. También se explica como el complemento de dos o más variables sobre las que se aplica el operador OR es equivalente a aplicar el operador AND.

teorema de Morgan

Historia del teorema de Morgan

El origen de la formulación del teorema de Morgan data desde la época de Aristóteles. Este personaje histórico, con sus conocimientos de la lógica, estableció ciertas premisas que hacían referencia a la validez de una inferencia que involucra dos proposiciones lógicamente equivalentes. Sus estudios fueron complementados con los conocimientos de los helénicos. Y posteriormente, durante la edad media, conocedores de estos trabajos decidieron retomar el estudio de la lógica propuesta por Aristóteles.

Para el siglo XIX, Augustus de Morgan estudia los postulados de Georgo Boole, y busca realizar sus propios aportes a la lógica proposicional. Es así como logra formular lo que se conoce como las leyes de Morgan, y pasan a formar parte del lenguaje inherente a la teoría que engloba la lógica. Con el tiempo, y hasta en la actualidad, son consideradas como herramientas esenciales para realizar inferencias válidas según los argumentos o proposiciones propuestos.

Compuertas obtenidas a partir del teorema de Morgan

El manejo de toda la terminología que conforma lo que es el teorema de Morgan, permite su aplicación en áreas como informática, o el diseño de circuitos digitales. Un término que se debe conocer se refiere a las compuertas lógicas. Se consideran como dispositivos lógicos que se rigen bajo las leyes booleanas cumpliendo una función acorde a un operador en particular.

teorema de Morgan

Para desarrollar programas o circuitos, es necesario a conocer a fondo cómo obtener compuertas lógicas a partir de estas leyes:

  • Para lograr obtener una compuerta AND, es necesario utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas.
  • La obtención de una compuerta OR se logra utilizando una compuerta NAND con sus entradas negadas.
  • Se puede obtener una compuerta NAND utilizando la compuerta OR con sus entradas negadas.
  • Una compuerta NOR se obtiene utilizando una compuerta AND con todas sus entradas negadas.

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