Teorema de Varignon

Teorema de Varignon

Al emplear los principios del cálculo vectorial, es posible entender cómo funciona el teorema de Varignon dentro del campo de la mecánica. Pero este teorema deriva de otro con igual nombre, del cual se toman las bases para profundizar esta teoría.

La geometría euclidiana permitió la formulación de un postulado que lleva el nombre del francés Pierre Varignon. Se desarrolla a través del uso de paralelogramos, conocidos como paralelogramos de Varignon. El enunciado declara que al unir los puntos medios de un cuadrilátero, será posible formar un paralelogramo.

Teorema de Varignon

A partir de este, se deriva el teorema de Varignon enfocado en la mecánica, que también se conoce como el principio del momento. Dentro de este se establece que el momento que es producto de un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma total de los momentos de las fuerzas aplicadas.

¿Qué es el teorema de Varignon?

El teorema de Varignon tiene sus bases en la geometría euclidiana. A través del enunciado se establece que se puede formar un paralelogramo a partir de la unión de los puntos medios de un cuadrilátero. Se dice que, si este es plano y convexo, entonces el paralelogramo que se forma tiene un área equivalente a la mitad del cuadrilátero original.

La aplicación de este teorema se puede extender a polígonos de más de cuatro lados. Pero al momento de unir los puntos medios para obtener el polígono derivado, se detalla que esto no tiene lados paralelos ni iguales. Sin embargo, se puede tomar en cuenta el siguiente enunciado: al tener un polígono de tipo 2n lados y vértices, A1, A2, A3, … ,A2n, se considera que AiAi+1 es paralelo e igual a Ai+nAi+n+2, siempre que se cumpla. En el caso de que Bj es el punto medio del lado AjAj+1, entonces el polígono B1 B2 B3 … B2n se comprende de lados paralelos e iguales.

También es posible utilizar este enunciado sobre cuadriláteros que no sean planos. Para problemas de este tipo, se puede modificar la prueba euclidiana. También se puede aplicar otro procedimiento a través de una demostración vectorial, pudiendo ser aplicable en casos de dimensiones mayores.

Teorema de Varignon

Si se trata de un octaedro, los centroides de las caras pueden ser considerados como semejantes a los puntos medios de los lados de un cuadrilátero. En este sentido, al unir cada uno de los puntos de los centroides, se puede obtener un paralelepípedo. De esta manera, se establece que todas las propiedades que se aplican dentro del teorema de Varignon son derivadas del teorema de Tales.

Paralelogramo de Varignon

Se define como un paralelogramo de Varignon a la figura que se forma a partir de los puntos medios de un cuadrilátero. Cuando se dibujan diagonales que atraviesen el paralelogramo, el centro de gravedad de este es el mismo del cuadrilátero, considerándose a su vez que la figura resultante tiene un área equivalente a la mitad del área de la figura original. De esta manera, debe cumplir las siguientes propiedades:

  • El perímetro del paralelogramo es igual a la suma del valor de las diagonales del cuadrilátero.
  •  La forma del paralelogramo será un rombo siempre las diagonales del cuadrilátero posean el mismo valor.
  • Cuando el cuadrilátero tenga diagonales perpendiculares, entonces la forma del paralelogramo será un rectángulo.

Historia del teorema de Varignon

Aunque se haya bautizado con el nombre de teorema de Varignon, fue en el principio del siglo XVII que el matemático Simon Stevin, originario de Flandes ahora conocido como Bélgica, propone este postulado, aunque no logra gran reconocimiento para el momento. Luego Pierre Varignon, matemático francés, toma esta teoría y da pie a la formulación del principio del momento, el cual sería reconocido como teorema de Varignon.

Este trabajo es incluido dentro de la publicación póstuma Nueva mecánica o estática, donde a la vez incluye una demostración del principio de composición de las fuerzas, aunque con un procedimiento un poco inexacto, aunque obteniendo resultados prometedores. Aun así, presenta por primera vez la representación de las fuerzas a través de un polígono, dando a lugar al enunciado del teorema de Varignon.

Teorema de Varignon

Para el momento, este enunciado y cálculo vectorial no se les consideraba dos términos relacionados. Las fuerzas eran consideradas entelequias abstractas, cuyo análisis era difícil de realizar, ya que contaban con una semántica y simbología complicada. Aunque se aplicaban métodos geométricos bastante útiles, aun así el proceso seguía siendo difícil.

Aplicación del teorema de Varignon en mecánica

Tras la investigación propuesta por Pierre Varignon en torno a este teorema, pudo comprobarse su validez dentro del campo de la mecánica. Según la teoría del matemático, lo nombró como el principio del momento, el cual fue definido como el momento resultante de un sistema de fuerzas concurrentes que equivale a la suma de todos los momentos de las fuerzas aplicadas.   El otras palabras, el momento con respecto a un punto, será igual a la suma de los momentos de cada vector que compone el sistema, con respecto al mismo punto.

Teorema de Varignon

Demostración del teorema de Varignon en mecánica

Se tiene un número n de fuerzas concurrentes F1, F2, F3 …  , Fn que se aplican sobre determinados puntos A1, A2, A3, … , An. El momento resultante en relación a un punto O da a lugar la siguiente fórmula:

MO=iOAiFi

Una vez que las rectas de soporte pasan a través del punto de concurrencia P, se tiene que se cumple el siguiente enunciado debido a que se trata de vectores paralelos:

PAiFi=0

Entonces, para cada momento individual:

OAiFi=OP+PAiFi=OPFi

Y para hallar la resultante:

MO=iOPFi=OPiFi=OPF

La aplicación de todas estas fórmulas para hallar el momento resultante, consiste en que todas las fuerzas atraviesen el punto de concurrencia, obteniendo la resultante de cada fuerza, y su momento con respecto al punto O.

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